"Объем прямой призмы и цилиндра"

Приложение 3.2.4

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Объем прямой призмы и цилиндра»

Школа: МОУ «Лицей №1», г. Воркуты.

Учитель: Курылева Светлана Сергеевна

Предмет: Геометрия

Класс: 11 (математический).

Тема: Объемы прямой призмы и цилиндра (задача 8 в ЕГЭ).

Тип урока: урок обучения умениям и навыкам.

Форма урока: урок-практикум.

Цель на урок: выработать умение применять формулы для вычисления объёма прямой призмы и цилиндра при решении задач.

Задачи на урок:

• дидактические: повторить формулы для вычисления объема прямой призмы и цилиндра многоугольников; учиться применять формулы для вычисления объема прямой призмы и цилиндра при решении задач; рассмотреть задачи на вычисление объема призмы, вписанной в цилиндр и призмы, описанной около цилиндра; контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

• развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь; развивать умения применять знания в конкретной ситуации; развитие самостоятельной деятельности обучающихся.

• воспитательные: воспитывать у учащихся потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, листы на каждого ученика с подбором заданий по теме урока, заданий для самостоятельной работы, домашней работы, дополнительная задача.

Средства обучения: мультимедийная презентация к уроку «Объем прямой призмы и цилиндра».

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы будем решать задачи по теме «Объемы прямой призмы и цилиндра» из открытого банка ЕГЭ, это группы В₁₀, В₁₃.

Французский государственный и военный деятель, инженер и ученый Лазар Карно сказал: «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым».

Исходя из темы урока, какие задачи вы можете перед собой поставить?

Задачи, которые мы сегодня будем разбирать, может быть, кому-то покажутся легкими, но без знания соответствующего теоретического материала справиться с ними практически нельзя.

II. Устная работа.

На предыдущем уроке мы вывели формулы для вычисления объемов прямой призмы и цилиндра. Какова общая запись этих формул?

Какие фигуры наиболее часто встречаются в основании прямой призмы в задачах ЕГЭ?

Треугольник

Как найти площадь прямоугольного треугольника, правильного треугольника, произвольного треугольника? Какие еще формулы для вычисления площади произвольного треугольника вы знаете?

Четырехугольник

Как найти площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба? Какие еще формулы для вычисления площади параллелограмма вы знаете?

Правильный шестиугольник

Как найти площадь правильного шестиугольника?

Давайте также вспомним еще ряд соотношений, необходимых для успешности как сегодняшнего урока, так и для решения задач по геометрии в целом.

С помощью каких формул можно вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей для

• правильного треугольника,

• прямоугольного треугольника,

• квадрата,

• прямоугольника,

• правильного шестиугольника?

Для решения задач нам также потребуются некоторые отношения подобия.

Как найти коэффициент подобия для подобных многоугольников, для кругов?

Чему равно отношение периметров подобных многоугольников?

Чему равно отношение площадей подобных фигур?

Чему равно отношение объемов подобных тел?

Ответьте, пожалуйста, ещё на ряд вопросов.

1. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если его стороны увеличить в 3 раза?

2. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов увеличить в 5 раз?

3. Как изменится площадь квадрата, если его стороны уменьшить в 4 раза?

4. Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить в 2 раза, обе стороны увеличить в 2 раза?

5. Как изменится площадь правильного шестиугольника, если его стороны уменьшить в 1,5 раза?

6. Как изменится объем призмы, если все ребра уменьшить в 3 раза; если стороны основания уменьшить в 3 раза, а высоту оставить неизменной?

7. Как изменится объем цилиндра, если увеличить его высоту в 7 раз, а основание оставить прежним?

8. Представьте себе ситуацию: воду из одного сосуда переливают во второй сосуд, дно которого с коэффициентом 2 подобно дну первого сосуда. Как изменится при этом уровень воды?

III. Решение тренировочных упражнений.

Итак, всю необходимую теорию мы повторили, приступаем к решению задач.

Одним из пунктов домашнего задания был выбор из прототипов открытого банка ЕГЭ заданий на вычисление объема прямой призмы и цилиндра и распределение их по группам. Какие группы вы получили, и какие задания отнесли к той или иной группе?

Для удобства я выделила эти задачи в отдельный блок (задания для классной работы) (Приложение 1). При отборе задач кое-кто из вас, вероятно, уже «прикинул», как они решаются. Кто хочет проверить свои силы и решить несколько аналогичных задач самостоятельно? Раздать варианты задач для самостоятельного решения (решить не менее любых пяти из десяти предложенных). (Приложение 2)

Ну а с остальными поработаем вместе.

Прежде чем мы приступим к решению, три ученика пойдут к доске и оформят решение задач на вычисление объема части цилиндра на доске, это задачи 7 – 9.

Задача 1.

Дополнительный вопрос: с чем совпадает высота прямой призмы?

Задача 2.

Ученик комментирует решение с места, краткая запись появляется на экране.

Задача 3.

Задача 4.

(для определения объема тела лучше всего подходит способ, изобретенный еще Архимедом: будучи погруженным в жидкость, тело вытесняет ровно столько, сколько и составляет его объем).

Задача 5.

Задача 6.

(выразим измерения второго цилиндра через измерения первого и упростим получившееся выражение, отделим произведение, равное объёму первого цилиндра и вычислим объем второго)

Задачи 7 – 9

(прокомментировав решение, ученики садятся, все остальные записывают решение задач в тетради)

Прежде чем приступить к решению следующих задач, давайте вспомним, какая призма называется вписанной в цилиндр? Какую призму можно вписать в цилиндр?

Какие конфигурации тел чаще всего встречаются в задачах ЕГЭ?

Задача 10.

Какую призму называют описанной около цилиндра? Какую призму можно описать около цилиндра?

Задача 11.

Ну а теперь поменяемся местами. Те учащиеся, кто работал самостоятельно, отложите работы, чуть позже мы их проверим, а те ребята, которые работали вместе со мной, проверят свои силы при выполнении самостоятельной работы. Перед вами лежат задания в двух вариантах, в каждом варианте по десять задач. Вам необходимо решить не менее трех из них. Какие задачи выполнить – выбирайте сами.

(более сильной группе ребят выдать тексты дополнительной задачи с изображением призмы) (Приложение 3)

Дополнительная задача

Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объем призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через сторону BC нижнего основания и середину ребра верхнего основания, равна .

Итак, вы ознакомились с условием задачи, решать на уроке мы её не будем, но чтобы вы дома успешно с ней справились, давайте составим план решения.

Первый пункт лежит на поверхности и мы его выполним:

1. Построить сечение призмы.

(Пусть К – середина ребра А₁В₁. Точки В и К лежат в одной плоскости, соединим их. Так как плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку К проведем прямую, параллельную ВС, пусть она пересекает ребро А₁С₁ в точке М. Точки М и С лежат в одной плоскости, мы их соединяем).

Учащиеся высказывают предположения о дальнейшем ходе решения, учитель производит корректировку.

IV. Подведение итогов. Рефлексия.

Итак, занятие подходит к концу. Давайте подведем итоги. Каждый из вас сегодня поработал самостоятельно. Возьмите ваши работы, поменяйтесь с рядом сидящим, оцените работы друг друга. Вспомните, отвечал ли ваш товарищ сегодня устно, сколько раз он отвечал, правильно ли. Добавьте по баллу за каждый правильный ответ.

Если ваш товарищ набрал 5 баллов и больше, поставьте ему «5» (отлично)

4 балла – «4» (хорошо)

3 балла – «3» (удовлетворительно)

Кто получил отметку отлично, хорошо? Есть такие, чья работа была неудовлетворительной?

Попробуйте дома разобраться в своих ошибках, выяснить причину, по которой вы их допустили.

Ну а сейчас мне хотелось бы, чтобы каждый из вас определил, на какой ступеньке изучения данной темы он находится?

Есть стоящие лишь на первой ступени? На последней ступени? Сделайте соответствующие выводы.

V. Информирование о домашнем задании. (Приложение 4)

Прототипы задачи 8 из открытого банка ЕГЭ по математике

по теме «Объем прямой призмы и цилиндра»

1	Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный тре­угольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем приз­мы.
2	Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .
3	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает  80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4  раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
4	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
5	В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
6	Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
7	Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .	5
8	Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
9	Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
10	В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
11	Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем призмы.
12	Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
13	Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .
14	В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
15	В цилиндрический сосуд налили 2000 см³. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
16	Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
17	Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
18	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с кате­тами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описан­ного около этой призмы.
19	Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Найдите высоту цилиндра, если объем призмы равен 16.
20	Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .
21	Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Задания для самостоятельной работы

I вариант

Задания для самостоятельной работы

II вариант

Задачи для домашней работы

Курылева С.С., учитель математики

МОУ «Лицей №1» г. Воркуты

ЭПИГРАФ:

Первое условие, которое надлежит

выполнять в математике, –

это быть точным, второе – быть

ясным и, насколько можно,

простым.

Лазар Карно

( французский государственный и военный

деятель, инженер и ученый)

• повторить формулы для вычисления объема прямой призмы и цилиндра ;

• учиться применять формулы для вычисления объема прямой призмы и цилиндра при решении задач;

• рассмотреть задачи на вычисление объема призмы, вписанной в цилиндр и призмы, описанной около цилиндра.

ТРЕУГОЛЬНИК

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ

ПРАВИЛЬНЫЙ

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

КВАДРАТ

РОМБ

ПРЯМОУГОЛЬНИК

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

РАДИУСА ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

НЕКОТОРЫЕ ОТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ

• Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

• Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

ЗАДАЧА 1(27082)

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный тре­угольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем приз­мы .

ЗАДАЧА 2 ( 27084 )

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

ЗАДАЧА 3 (27048)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает   80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в  4  раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

ЗАДАЧА 4 (2704 7)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см³  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

ЗАДАЧА 5( 270 91)

В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

ЗАДАЧА 6( 27053)

Объем первого цилиндра равен 12 м 3 . У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

ЗАДАЧА 7( 27 1 99)

Найдите объем  V  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

ЗАДАЧА 8( 27 200 )

Найдите объем  V  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

ЗАДАЧА 9( 27 201 )

Найдите объем  V  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

ПРИЗМА, ВПИСАННАЯ В ЦИЛИНДР

ПРИЗМЫ, ВПИСАННЫЕ В ЦИЛИНДР

ЗАДАЧА 10( 27 050)

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны 2/ π . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

ПРИЗМА, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЦИЛИНДРА

ПРИЗМЫ, ОПИСАННЫЕ ОКОЛО ЦИЛИНДРА

ЗАДАЧА 11( 27 041)

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем призмы.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объем призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через сторону BC нижнего основания и середину ребра верхнего основания, равна 3√19.

ПЛАН РЕШЕНИЯ:

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

ЗАДАЧА (27083)

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

ЗАДАЧА (245335 )

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A 1 , B, C, B 1 , прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого AB=3, AD=4, AA 1 =5.

ЗАДАЧА (2453 44)

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A 1 , B 1 , C 1 , B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3 .

ЗАДАЧА ( 270 45)

В цилиндрический сосуд налили 2000 см³. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

ЗАДАЧА ( 270 46)

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

ЗАДАЧА ( 27 118 )

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

ЗАДАЧА ( 27 1 96)

Най­ди­те объем  V  части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те V/ π .

ЗАДАЧА ( 27 049 )

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны 5/ π . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

ЗАДАЧА ( 27 04 2 )

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Найдите высоту цилиндра, если объем призмы равен 16.