Объем цилиндра и призмы

Открытый банк заданий по математике http ://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

В цилиндрический сосуд налили 1200 см 3  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см 3 .

Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики.

Найдем отношение объемов

V 2

10 см

12

1200

V 1

1200 см 3

12 см

10

1

0

0

0

В 9

х

3

х

1

0

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Ответ выразите в сантиметрах.

V

27 см

Найдем отношение объемов

Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2

d

1

27

1

27

=

9 h

1

1

h 2

V

3

3d

В 9

х

3

х

1

0

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1500 см 3  воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см 3 .

Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики.

Найдем отношение объемов

3 см

V 1

2 5

25 см

1 5 00

1 5 00см 3

3

1

0

8

В 9

х

3

х

1

0

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

Ответ выразите в сантиметрах.

1

ab

S

sin

a

=

2

V

16 см

Найдем отношение объемов

Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2

a

a

1

16

1

16

=

16 h

1

1

h

1

V

4 a

В 9

х

4 a

3

х

1

0

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с

катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

8

6

5

10

1

5

2

В 9

х

3

х

1

0

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые

ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

2

2

2

2

d

4

В 9

х

3

х

1

0

Объем первого цилиндра равен 12 м 3 . У второго цилиндра высота

в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Найдем отношение объемов

12

4

12

=

V

3

9

В 9

х

3

х

1

0

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.

Найдем отношение объемов

27

1

27

=

V ц.

3

8

1

В 9

х

3

х

1

0

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра

увеличить в девять раз?

Найдем отношение объемов

V 2

V 1

a

9 a

7

9

2

В 9

х

3

х

1

0

Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Для прямоугольного параллелепипеда

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

d 2 = 3 a 2

Для куба

a

a

a

8

В 9

х

3

х

1

0

Объем куба равен 24 . Найдите его диагональ.

Для прямоугольного параллелепипеда

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

d 2 = 3 a 2

Для куба

a



3

8

a

a

6

В 9

х

3

х

1

0

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

x

4

6

2

4

3

2

В 9

х

3

х

1

0

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба. Объем куба увеличится на 19. Составим и решим уравнение: (х+1) 3 = х 3 + 19  V a ребро 1 куб x x 3 Исходный куб (x+1) 3 х+1 2 куб Новый куб 2 В 9 х 3 х 1 0 " width="640"

на 1 9

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Объем куба увеличится на 19. Составим и решим уравнение:

(х+1) 3 = х 3 + 19



V

a

ребро

1 куб

x

x 3

Исходный куб

(x+1) 3

х+1

2 куб

Новый куб

2

В 9

х

3

х

1

0

B

a

S = a b sina

1

2

C

b

A

B

C

параллелограмм

S = a b sina

a

b

D

A

B

S = a 2 sina

a

ромб

A

C

a

D

B

C

параллелограмм

d 2

S = d 1 d 2 sina

1

d 1

2

A

D

B

1

ромб

d 1

S = d 1 d 2 sin 90 0

1

A

d 2

2

C

D

C

B

d

прямоугольник

S = d 2 sina

1

2

d

A

D

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 9, а боковые ребра равны .

9

9

60 0

Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников.

9

9

9

9

1

9

0

3

,

5

В 9

х

3

х

1

0

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

?

D 1

A 1

C 1

B 1

h

2

D

1

60 0

60 0

O

C

A

1

B

1

5

,

В 9

х

3

х

1

0

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

1

S

a

ab

sin

=

2

Обе призмы имеют одинаковую высоту

Найдем отношение объемов

h



32

a

V 2

V 1

8

2 a

В 9

х

3

х

1

0

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

5

Применим результат, полученный в предыдущей задаче

2

0

В 9

х

3

х

1

0

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

2 r

r

r

2 r

2 r

2 r

3

В 9

х

3

х

1

0

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2  и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

?

2

2

60 0

h

Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников.

2

30 0

O

2

2

2

1

8

В 9

х

3

х

1

0

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 0 , 30 0 и 45 0 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.                        

Найдем длину, ширину и высоту параллелепипеда.                      

a

b

c

30 0

30 0

45 0

4

В 9

х

3

х

1

0

=

Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  равен 9.

Найдите объем треугольной пирамиды ABCA 1 .                    

2 S ABD

V приз. = S o H

1

V пир. = S o H

3

D 1

C 1

Найдем отношение объемов

A 1

B 1

9

h

D

C

A

B

1

5

,

В 9

х

3

х

1

0