Обобщение темы "Площади фигур"

Площади фигур

Выполнила: ученица 9»б» класса

Гололобова Ксения

Руководитель: Иванченко И.А.

История площади

• Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой.

• Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников.

• Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками, с которого берёт начало теория пределов. Метод заключается в построении последовательности площадей, которые при постепенном нарастании «исчерпывают» требуемую площадь. Метод исчерпывания, получивший своё название только в XVII веке, основан на аксиоме непрерывности Евдокса — Архимеда и приписывается Евдоксу Книдскому, который с его помощью показал, что площади кругов относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

Площадь - это

• Численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.

Формулы для вычисления площадей фигур:

• S = a ⋅ a

• S = a ⋅ b

• S = a ⋅ h a = b ⋅ h b

• S= (a+b)⋅h

2

• P=П⋅r⋅r

• S= a⋅b

2

• S= c⋅h с

2

• S=AB⋅DE=BC⋅DF
• S = AB ⋅ ADsinα
• S= 1/2 AC⋅BDsinγ

• S= 1 / 2 AC⋅Bdsinφ

• Длина его сторон: a,b,c и длина его высот: h a , h b и h c .

• S = ½(a ⋅ h a ) = ½(b ⋅ h b ) = ½(c ⋅ h c )
• S = ½(ab ⋅ sinC) = ½(ac ⋅ sinB) = ½(bc ⋅ sinA)
• p = ½(a + b + c)
• S = √p(p - a)(p - b)(p - c) - формула Герона

• S = П· a · b

Задачи простого уровня:

• Прямоугольник имеет длину 6 см и ширину 4 см. Найдите площадь.

• Площадь квадрата равна 16 см2. Найдите сторону квадрата.

• Площадь прямоугольника равна 45см2. Если его длина равна 9 см, найдите ширину.

• На площадке с длиной 25 метров и шириной 12 метров стоит квадратный дом со стороной 9 метров. Какова площадь сада, который занимает всё оставшееся место?

• Какова площадь красной зоны?

Решение

Ответы:

• 24 см2

• 4см

• 5см

• 219 см2

• 381 м2

Задачи сложного уровня:

• Коробка, сторона которой является прямоугольником с длиной 10 см и шириной 6 см имеет высоту 8 см. Какова общая площадь коробки?

• Длина прямоугольника равна 6 см и ширина равна 4 см. Если длина станет на 2 см больше, то какой должна быть ширина, чтобы площадь осталась бы такой же?

• Сколько нужно квадратов со стороной 2 см, чтобы покрыть поверхность прямоугольника с длиной 24 см и шириной 8 см?

• Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник с шириной 4 см имеют одинаковую площадь. Какова длина прямоугольника?

• Сторона квадрата равна 5 см. Если сторона удвоится, то во сколько раз площадь нового квадрата станет больше, чем площадь старого квадрата?

Решение:

Ответы:

• 376 см2

• 3см

• 48

• 9 см

• В 4 раза

Ссылки:

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C_% D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B
• https://www.math10.com/ru/zadachi/ploshad-kvadrata-i-prqmougolnika/easy /
• https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/# h5