Обратная функция

Обратная функция

Повторим

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у , то, говорят, что на этом множестве задана функция .

D(f) – область определения функции;

х – независимая переменная или аргумент;

у – зависимая переменная;

множество всех значений y=f(x), xϵХ называют областью значений функции и обозначают E(f).

Задача

Пусть дана функция y=f(x)

Найти значение функции в точке х=х 0

Например:

Найти значение функции у=5х+7 в точке х=7.

у(7)=5∙7+7

Ответ: у(7)=42

Прямая

Задача

Пусть дана функция y=f(x)

Найти значение аргумента в точке у=у 0

Например:

Дана функция у=5х+7. Найти значе-

ние аргумента при котором у=22.

22=5х+7

5х=22-7

5x=15

х=15:5

x=3

Ответ: у(3)=22

Обратная

=35+7=42

Задача

Пусть дан закон изменения скорости движения от времени

Найти закон изменения времени от скорости.

Решение:

0 – gt=

gt= – 0

t=

Обратимая функция

Обратная функция к

Если функция принимает каждое свое значение у только при одном значении x , то эту функцию называют обратимой .

Пусть обратимая функция. Тогда каждому из множества значений функции соответствует одно определенное число из области определения, такое, что Это соответствие определяет функцию от , которую обозначим . Поменяем местами и : Функцию называют обратной к функции . Обозначают .

Пример

Найти функцию, обратную функции

Решение:

Ответ:

y

y

5

0

x

x

5

0

• D(y)= (; 5)

• E(y)= (; 0)

• D(y)= (; 0)

• E(y)= (; 5)

Свойства обратных функций:

• Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции , а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции

• Монотонная функция является обратимой:

а) если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает;

б) если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Пример

Показать, что для функции существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение:

Функция возрастает на R.

Значит, обратная функция существует на R.

Решим уравнение относительно . Получим,

Поменяв местами и получим:

Это и есть искомая обратная функция.

Пример

Дана функция

Доказать, что для нее существует обратная функция, записать аналитическое выражение обратной функции в виде и построить график обратной функции.

Решение:

Функция возрастает на промежутке значит, она имеет обратную функцию.

Из уравнения находим: или . Промежутку принадлежат лишь значения функции .

Поменяв местами и получим

График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой .