Обратная функция

Обратная функция

Вопросы

• Какую функцию называют обратимой?
• Любая ли функция обратима?
• Какую функцию называют обратной данной?
• Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
• Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
• Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

Сравнить функции y = f(x) и y = g(x)

Определение обратимой функции

Функцию y=f(x), x ϵX, называют обратимой , если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции)

Теорема 1. Если функция монотонна на X, то она обратима

Какая функция обратима?

Определение обратной функции

• Пусть обратимая функция  y = f(x)  определена на множестве  Х  и  Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому  y из  Y  то единственное значение  x , при котором  f(x) = y.  Тогда получим функцию, которая определена на  Y , а  Х  – область значений функции
• Эту функцию обозначают  x = y  -1 (y)  и называют обратной по отношению к функции  y = f(x) .
• Сделайте вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Теорема 2. Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на X и Y область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на Y

Функция задана аналитически. Как задать функцию обратную данной?

• Убедиться, что функция монотонна.
• Выразить переменную x через у.
• Переобозначить переменные.

Вместо x = y  -1 (y) пишут y = f  -1 (x)

Пример 1:  Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Пример 2:  Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Как построить график функции обратной по отношению к y = f(x)?

• Чтобы получить график функции

y = f  -1 (x), обратной по отношению к функции y = f(x) надо график функции y = f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y = x.

• Построите в одной системе координат график функции y =  и график обратной ей функции.
• Запишите аналитическое выражение обратной функции.