Обратная функция

Министерство образования и науки РФ

Департамент образования Ивановской области

ОГБОУ СПО Кинешемский педагогический колледж

Обратная функция

Методическая разработка урока

дисциплина «Математика» 1 курс

преподаватель математики: Совина Марина Владимировна

2013

Тема: Обратная функция

Цели:

• Дать определение «обратимой» функция;

• Сформировать умение выражать обратную функцию и строить её график;

• Развить логическое мышление;

• Воспитать культуру ведения записей.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Постановка целей урока.

3. Актуализация знаний.

4. Объяснение нового материала.

5. Закрепление знаний и умений.

6. Подведение итогов урока.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование : интерактивная доска(инструмент линейка), компьютерная презентация, карточки с графиком.

Ход урока.

Урок проходит в информационном центре, поэтому соблюдаем правила техники безопасности:

• При ответе с места - не вставать;

• Выходить к доске только с правой стороны от парты.

Тема урока: «Обратная функция» и мы с вами должны рассмотреть:

• Понятия «Обратимая функция» и «Обратная функция».

• Область определения и область значения обратной функции.

• Рассмотреть и научиться строить графики обратной функции.

Запишите число и тему урока в тетрадь

Начнём с разминки. Необходимые вычисления аккуратно выполняем в рабочих тетрадях.

Упражнение 1.

Найдите значение функции для данных значений аргументов.

y=5x²+7 х=3 (у=52)

y=х-3 х=-8 (у=-5)

у=+1 х=1 (у=4)

Упражнение 2.

Найдите значение переменной х, при которых функция у=4

у =2х-7 у=х²

4=2х-7 4=х²

-2х=-4-7 х=+

-2х=-11 х=+2

Х=-11:(-2)

Х=5,5

Обратите внимание, что в первом примере у нас получился один ответ, а во втором примере получаем два значения -2 и +2.

Именно однозначность переменной х и определяет обратимость функции.

Функция, принимающая каждое своё значение в единственной точке области определения, называется обратимой.

Запишите определение в тетрадь.

Задание

Прочитайте определение и объясните, на каком из 2^х рисунков представлен график обратимой функции.

Рис.1

Рис.2

Если функция обратима, то она имеет обратную функцию. Для того чтобы получить обратную функцию необходимо:

1. Выразить х из формулы у=f(х)

2. Поменять х и у местами.

Запишите алгоритм в тетрадь.

Например, у=2х-7

1. 2х-7=у

2х=у+7

х=

1. у=

Задание

А теперь, используя образец и алгоритм, найдите обратную функцию для 4^х функций. На работу вам предоставляется 12 минут.

y=

y=3-x

y=5(x-2)

y=3x+1

у=2+5х Ответы:

у=3-х

у=+2

у=

Проверьте свои ответы с ответами на доске и оцените, как вы выполнили свою работу: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно».

Каждая функция связывает 2 множества:D (f) и E (f)

Мы берём число из области определения, выполняем математические действия, указанные в функции и получаем значение функции.

-Какое значение в данном случае? (у=-3)

Давайте посмотрим на обратную функцию. Здесь 2 множества меняются ролями. Мы берём число из второго множества и выполнив действия получаем число из первого множества.

-Какое? (у=1)

-А может эти числа не связаны? Проверим, можно ли из 1 с помощью функции у=2х-7 получить число -5 ? (Да)

Таким образом,

Если функция y=f(x) является обратимой и

y=g(x) – обратная для неё функция, то: D(f)=E(g) и E(f)=D(g)

Всем известно, что самым наглядным способом представления функции является график. Давайте рассмотрим графики наших функций и найдём между ними взаимосвязь.

Возьмём произвольную точку с координатами (4,1) и , используя инструмент «линейка», построим ей симметричную относительно прямой y=x. Получили точку с координатами (1,4).

Повторим это для точки с координатами (-3,2). Получили точку с координатами (2,-3).

Таким образом, графики данной и обратной для неё функций симметричны относительно прямой у=х.

Запишите вывод в тетрадь.

Задание

Рассмотрите функцию y=x² , является ли она обратимой?

(Нет, т.к. при х=2 и х=-2 принимает одно и то же значение 4)

Уберём одну ветвь. Что теперь можно сказать об обратимости функции?

(Функция обратима на интервале (0; )

Каждая обратимая функция имеет свою обратную функцию. В данном примере какую? - y=

Задание

- Укажите область определения и область значения обратной функции.

- Что можно сказать о графике обратной функции? (он симметричен относительно прямой у=х)

Любая степенная функция у=хⁿ с нечётным показателем является обратимой.

- Почему?

Каждое своё значение функция принимает только один раз.

- Какая функция будет для данной обратной?

y=

- Как пройдёт график этой функции?

Учащиеся выходят к доске и проводят линии с помощью инструмента «кисть». Затем появляется точное изображение.

Контрольное задание

Перед каждым из вас лежит листочек с графиком функции (подпишите его).

Постройте график обратной функции. Y=2x+3

Подведём итоги:

Дом. задание: проработать записи и выучить определения