Основные приемы решения уравнений

Практическое занятие Приложение 29

Основные приемы решения уравнений.

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений.

1) Теоретический этап. Опорный конспект.

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем  уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Основные тождественные преобразования:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. 

Например, уравнение  (3x+ 2) ² = 15x+10 можно заменить следующим равносильным:

 9x² + 12x +4 = 15x + 10

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. 

Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:  9x² + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x² – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля.  Уравнение  x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение (x – 1)(x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения  x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если (x – 1)(x – 3) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на  x – 3 .

Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечетной степени. Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней; 

б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень  x = 5. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49x² = 1225 , имеющее два корня:  x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения 49x ² = 1225 даёт в результате 7x = 35,и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: | 7x | = 35,  следовательно, к двум случаям: 1) 7x = 35, 

тогда x = 5;  2) – 7x = 35,  тогда x = – 5. Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

Решение уравнений

Показательные уравнения.

1) Если показательное уравнение сводится к виду a^x = a^b (1) где a 0 и a ≠1, то оно имеет единственный корень х = b.

2) Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), необходимо в левой части уравнения вынести за скобки общий множитель а ^х, например:

3) Некоторые показательные уравнения заменой а ^х = t сводятся к квадратным.

Надо помнить, что t 0, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Логарифмические уравнения.

Чаще всего при решении логарифмического уравнения его приводят к виду

log_a (f(x)) = log _a (g(x)), тогда f(x) = g(x).

Решив полученное уравнение, следует сделать проверку корней, чтобы исходное уравнение не потеряло смысл.

2) Подготовительный этап. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решить уравнение: 9 ^х – 7 3 ^х = - 12

Решение:

9 ^х – 7 3 ^х = - 12; Пусть 3 ^х = t , t 0; t² - 7t + 12=0; D = 1; t₁ = 3, t ₂= 4.

Делаем обратную замену 1) 3^x = 3; 2) 3^x = 4

x₁ = …; x ₂ =

Ответ: х₁ = 1; x ₂ = .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение: . _{Уравниваем основания :} .

Ответ: x₁= 5; x₂ = - 1

Пример 3. Решить уравнение: log₅ (x² - 10) = log ₅ 9x

Решение: log₅ (x² - 10) = log ₅ 9x; x² - 9x – 10 = 0, D = …; x₁=10, x₂= -1

Проверка: при х = 10, log₅ (10² - 10) = log ₅ (9 ∙10) – верно

Ответ: x = 10

Пример 4. Решить уравнение: log ₇ (x² + 6x) = 1;

Решение: log ₇ (x² + 6x) = 1;

x² + 6x =7¹ ; x² + 6x – 7 = 0; D = 64; x₁ = - 7 u x₂ = …

Проверка: при х = - 7, log ₇ ((- 7)² + 6 ∙(-7)) = 1 – верно

при х = 1, log ₇ (1² + 6 ∙1) = 1 – верно

Ответ. x₁= - 7; x ₂= 1.

Пример 5. Решить уравнение log₂ (x – 5) + log₂ (x +2) = 3

Решение: log₂ (x – 5) + log₂ (x +2) = 3

Используем свойство логарифмов: log₂(( x-5)(x + 2)) = 3; (x-5)(x+2) = 2³; (x-5)(x+2) = 8;

х² + …х – 5х – 10 = 8; x² – 3x - 18 = 0; D = …; x₁ = – 3; x₂ = ….

Проверка: при x = – 3, log₂ (– 3 – 5) + log₂ (– 3 +2) = 3 – неверно

При х = 6, log₂ (6 – 5) + log₂ (6 + 2) = 3 – верно

Ответ: х = 6.

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение:

Пусть , тогда у² – 4у + 3 = 0; D = …; у₁ = 1; у₂ = …

Сделаем обратную подстановку:

1) = 1; х = 2; 2) = 3; х = 2³ ; х = …

Ответ: х = 2, х = 8.

3) Практический этап.

1. Решить уравнение: 4^х – 6 ∙ 2^х = – 8

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение: log₃ (x² + 6) = log₃ 5x

4. Решить уравнение: log₁₂ (x² – x) = 1

5. Решить уравнение: + = 0

6. Решить уравнение: log²₂ Х – 4 log ₂ Х = 12

4) Дополнительные задания^*

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: + = 3

1) [ – 10; – 15] ; 2) (5; 10); 3) (10; 13); 4) [ 10; 15]

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: х = 1

1) [ 2; 5] ; 2) (– 2; – 1); 3) [– 1; 1]; 4) [ 1; 2]

3. Найдите сумму корней уравнения: ( )^2х + 5∙ ( )^х – 24 = 0

4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log ₅ (3х – 1) = 3

1) (15; 20) ; 2) [ 0; 2]; 3) (20; 40); 4) [ 40; 50]

5. Найдите сумму корней уравнения: 3 ^2х – 4 3^х + 3 = 0

6. Решите уравнение lg(5х + 11) – lg( ) = lg13

7. Решите уравнение: