Основные тригонометрические тождества

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области «МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Сергиево-Посадский филиал

Раздел 6. Основы тригонометрии.

Тема 6.2 Основные тригонометрические тождества

Подготовила преподаватель математики

Крылова И.К .

1. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Использование данных понятий в реальной действительности.

Вернёмся к нашей единичной окружности.

Проведём связь между координатами ( х ; у ) точки А и тригонометрическими функциями.

Наша окружность пересекает ось х в точках (1;0) и (−1;0), а ось y в точках (0; −1) и (0;1)

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Важно запомнить, что углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами

(1; 0), – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки.

Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A.

Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.

Найдем синус и косинус этого угла.

Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C). Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x , отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y . Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

Таким образом, мы связали координаты точки А ( х;у ) с тригонометрическими функциями

Рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.

Косинус тупого угла отрицательный , а синус тупого угла – положительная величина  

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Таблицу значений тригонометрических функций выполним в тетрадь. С помощью таблицы выполним по учебнику №430(1и4) стр.130

Разберёмся, как пользоваться таблицей

2. Основные тригонометрические тождества. Практическое применение данных формул в доказательстве тождеств и упрощении выражений.

Определение. Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных (букв).

Рассмотрим снова треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора: АВ 2 + ОВ 2 = ОА 2 .

Так как рассматривается единичная окружность, то ОА = 1,

ОВ = соs α, AB = sin α.

Подставив эти величины в равенство, получим

тождество: sin 2 α + соs 2 α = 1– основное тригонометрическое

тождество или, как ещё его называют, «тригонометрическая

единица».

Продолжим работу по учебнику.

Домашнее задание.

1. Изучите лекционный материал.

2. Прочитайте учебник Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый уровень /Ш.А. Алимов и др. – 19-е изд. – М.: Просвещение. Повторите п.21-22. Изучите г.5 п.23,25,26.

3. Выполните в тетради письменно решение упражнений:

стр.130 №430(2,3,5,6); стр.137 №456(2,3,4), №457(3,4), №465(1,4),

№ 466(2,3)

Из определения тригонометрических функций вытекают важные их свойства:

1. Все тригонометрические функции периодические. Причём sinα и cosα имеют наименьший (главный) период Т = 2π и общий период 2πk, где k – любое целое число.

У tgα и ctgα наименьший период равен π, а общий πk, где k – целое число.

2. sinα, tgα и ctgα – нечётные функции; т.е.

sin (– α) = – sinα, tg (– α) = – tgα, ctg (– α) = – ctgα;

cosα – чётная функция, т.е. cos (– α ) = cosα.

Пример: