Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться. 

Доказательство: Рассмотрим▲ABC и ▲ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые  AC и  BDпараллельные, то расстояние между ними равно h  - высоте▲ABC и ▲ADC. Если площадь треугольника находится по формуле S=12⋅a⋅hS=12⋅a⋅h, то  SABC=SADC=12⋅AC⋅hSABC=SADC=12⋅AC⋅h.

Свойство №2

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  

Доказательство: Пусть h₁ = h₂  в двух треугольниках с основаниями a  и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников S1S2=12⋅a⋅h112⋅b⋅h2S1S2=12⋅a⋅h112⋅b⋅h2.
Упростив, получим S1S2=abS1S2=ab.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий 
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол. 

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC  и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b,   MB = a₁иNB = b₁. Пусть S₁ = S_MBN  и S₂ = S_ABC. Используя формулу площади треугольника вида S=12⋅a⋅b⋅sinγS=12⋅a⋅b⋅sinγ, рассмотрим отношение площадей ▲ABC  и ▲MBN . 

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC  и ▲MBN. Пусть AB = k MB,BC = k NB  и ∠ABC=∠MBN∠ABC=∠MBN. Используя формулу площади треугольника вида S=12⋅a⋅b⋅sinγS=12⋅a⋅b⋅sinγ, рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN.   Тогда   S1S2=12⋅AB⋅BC⋅sinB12⋅MB⋅NB⋅sinB=k⋅NB⋅k⋅MBMB⋅NB=k2S1S2=12⋅AB⋅BC⋅sinB12⋅MB⋅NB⋅sinB=k⋅NB⋅k⋅MBMB⋅NB=k2 .

Свойство № 5

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство:  Рассмотрим▲ABC . Пусть медиана  BM , тогда AM=MC=12ACAM=MC=12AC. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников  ▲ABM и ▲MBC  по формуле S=12⋅a⋅hS=12⋅a⋅h. Получим SABM=12⋅AM⋅hSABM=12⋅AM⋅h  и SMBC=12⋅MC⋅hSMBC=12⋅MC⋅h. Значит  SABM=SMBCSABM=SMBC.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.

Доказательство:  Рассмотрим▲ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB, ▲BOC,▲AOC. Пусть их площади равны соответственно  S₁,  S₂,  S₃. А площадь  ▲ABC равна  S. Рассмотрим ▲ABK и  ▲CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK - медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK  равны. Отсюда следует, что S₁ =S₂. Аналогично можно доказать, что S₂ = S₃ и S₃ = S₁ .

Свойство №7

Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади 1/4S .

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если S_ABC = S , то SNBM=12⋅NM⋅h1=12(12⋅AC)(12⋅h)=14⋅SSNBM=12⋅NM⋅h1=12(12⋅AC)(12⋅h)=14⋅S. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC.

Свойство №8

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Доказательство:  По свойству №7 площади ▲AOB, ▲BOC,▲AOC равны. По свойству №5 площади   ▲AOM, ▲BOM  равны. Значит  S₁ = S₆ . Аналогично S₂ = S₃. Если  S₁ + S₆ = S₂ + S₃  и 2S₁ = 2S₂  значит S₁ = S₂. И так далее. получим, что все шесть треугольника имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ▲ABC.