Параллельное проектирование

Тема урока:

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.

Точка А ` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой ℓ . Если точка А принадлежит прямой ℓ , то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой ℓ с плоскостью π . Такое соответствие называется параллельным проектированием. (рис. 1)

Рис.1

Пусть Ф – некоторая фигура в пространстве. Проекции её точек на плоскость π образует фигуру Ф ` , которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой ℓ . (рис. 2)

ℓ

Ф

Ф `

π

Рис. 2

Свойство №1 . Если прямая параллельна или совпадает с прямой ℓ , то её проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой ℓ , то её проекцией является прямая. (рис. 3)

Рис. 3

Свойство №2 . Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок в зависимости от того, лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой ℓ , или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка. (рис. 4)

Рис. 4

Свойство №3 . Если две параллельные прямые не параллельны прямой ℓ , то их проекции в направлении ℓ могут быть или параллельными прямыми, или одной прямой. (рис. 5)

Рис. 5

Пример №1. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой ? Решение. Рассмотрим все возможные случаи. Если прямые пересекаются и ни одна из них не параллельна направлению проектирования, то они проектируются в пересекающиеся прямые (рис. 6); если же одна из них параллельна направлению проектирования, то плоскость, которая определяется этими прямыми, проектируется в одну прямую (в этом случае плоскость параллельна направлению проектирования). (рис. 7)

а

b

b

а

ℓ

ℓ

b'

а '

а '

π

π

Рис. 6

Рис. 7

Если прямые параллельны, то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость не параллельна направлению проектирования) (рис. 8), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 9), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования). (рис. 10)

а

ℓ

ℓ

а

b

b

a '

а( b)

b '

а

b

π

π

ℓ

Рис. 9

Рис. 8

.

.

А

В

π

Рис. 10

Если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку. (рис.11)

ℓ

b

а

.

b '

а '

π

Рис. 11

Пример № 2. Отрезок АВ, равный а, параллелен плоскости проектирования. Найди длину его параллельной проекции. Решение. Пусть параллельными проекциями точек А, В будут соответствовать точки А ' , В ' . Тогда четырехугольник АВВ ' А ' будет параллелограммом (АА ' параллельна ВВ ' , АВ параллельна А ' В ' ). Следовательно, АВ=А ' В ' = а. Таким образом, длина параллельной проекции отрезка, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования, равна длине отрезка. (рис. 12)

.

.

ℓ

А

В

.

.

А '

В '

π

Рис. 12