Параллельные плоскости и их свойства.

Параллельность плоскостей.

1. Параллельные плоскости.

С параллельными плоскостями мы встречаемся в жизни каждый день. Наиболее наглядный пример – это плоскости потолка и пола (если не брать в расчёт дизайнерские фантазии); это полки в шкафу; это плоскости ступеней (на которые мы наступаем), ну и т.д., и т.п.

Определение. Две плоскости в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек.

На чертежах параллельные плоскости изображаются в виде одинаковых параллелограммов, которые смещены друг относительно друга, причём, если они расположены близко друг к другу, то не забывайте о невидимых линиях!

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Предположим, что . Тогда одна из двух пересекающихся прямых или , лежащие в плоскости , пересекает прямую , которая также лежит в плоскости . Но, прямая , в то же время, лежит в плоскости , значит, одна из двух прямых или пересекает плоскость . Однако, по условию теоремы, , значит, (по признаку параллельности прямой и плоскости). Аналогично, , значит, . Мы пришли к противоречию с признаком параллельности прямой и плоскости вследствие того, что сделали изначально неверное предположение. Значит, , ч.т.д.

1. Свойства параллельных плоскостей.

ТЕОРЕМА 1 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Поскольку , тогда прямые и либо пересекаются, либо параллельны. Но, кроме того, они лежат в параллельных плоскостях, т.е. не могут иметь общих точек. Значит, , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 2 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

1. В данной плоскости проведём две пересекающиеся прямые (рисунок слева). Через данную точку проведём прямые и (это возможно сделать по аксиоме планиметрии: «через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну»). Через две пересекающиеся прямые и проведём плоскость . По признаку параллельности плоскостей, .

2. Докажем единственность существования такой плоскости. Предположим, что через точку проходит ещё одна плоскость , параллельная плоскости (рисунок справа). В плоскости проведём произвольную прямую через точку , а в плоскости отметим произвольную точку . Через прямую и, не лежащую на ней точку , можно провести плоскость , и, притом, только одну. Тогда . Так как (по построению) и (по предположению), то прямые и не пересекают прямую , т.е. и . Мы получили, что через точку в плоскости проходят две прямые и , параллельные одной и той же прямой . Это противоречит аксиоме планиметрии о параллельных прямых. Противоречие возникло вследствие неверного предположения. Значит, через точку вне плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной, ч.т.д.

ТЕОРЕМА 3 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Так как прямые и параллельны, то через них можно провести плоскость . Тогда . Согласно теореме 1, . Значит, – параллелограмм. Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 4 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Предположим, что . Тогда , т.е. эти плоскости имеют общую точку. Значит, через одну точку проходят две плоскости и , параллельные одной и той же плоскости . А это противоречит теореме 2 о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Противоречие возникло вследствие неверного предположения, значит, , ч.т.д.

1. Через вершины и параллелограмма проведены параллельные прямые и , не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите:

1. Параллельные прямые и пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках и , а другую – точках и соответственно.

1. Докажите:

1. Найдите:

1. , если ;

2. , если

1. Основания трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что боковые стороны трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

1. Боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что основания трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

1. Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

1. Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

1. Точки и лежат в плоскости , а точки и – в плоскости , причём, отрезки и пересекаются, .

1. Докажите:

1. Найдите углы четырёхугольника , если один из этих углов равен .

1. Точка не лежит в плоскости . Докажите, что все прямые, проходящие через точку и параллельные плоскости , лежат в одной плоскости.

1. Плоскости и параллельны. Прямая лежит в плоскости . Через точку, не лежащую в плоскости , проведена прямая , параллельная . Докажите, что прямая лежит в плоскости .

1. Каждая из двух прямых параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что ? Ответ объясните.

1. Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости . Прямая параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что? Ответ объясните.

1. Концы двух равных пересекающихся отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

1. При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – прямоугольник?

2. Докажите, что если не является прямоугольником, то – равнобедренная трапеция.

1. Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

1. При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – ромб?

2. Докажите, что если не является ромбом, то – трапеция, в которой высота равна средней линии.

1. Две скрещивающиеся прямые пересекают три параллельные плоскости в точках и .

1. Найдите и , если

2. Найдите и , если

1. На рисунке . Докажите параллельность плоскостей и .

1. На рисунке и – параллелограммы. Докажите параллельность плоскостей и .

1. Дан куб . – диагонали граней соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

1. – пространственный четырёхугольник. – середины сторон соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

1. Точка лежат вне плоскости параллелограмма . Точки и – середины сторон и соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

1. На рисунке – пространственный четырёхугольник. Точки лежат на сторонах и соответственно так, что . Докажите параллельность плоскостей и .

1. Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

1. Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

1. Параллельные прямые и пересекают плоскость в точках и . Параллельные прямые и пересекают эту же плоскость в точках и . Причём, прямые и пересекаются в точке , а прямые и – в точке . Доказать, что прямые и параллельны.

1. Скрещивающиеся прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что прямые и скрещивающиеся.

1. Прямые и пересекаются в точке и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найдите и , если .

1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найти и , если и .

1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что треугольник подобен треугольнику .

1. Точки и лежат в плоскости и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки и расположены по одну сторону от плоскости . Докажите, что плоскости и параллельны.

1. Точка не лежит в плоскости треугольника , точки и – середины отрезков и соответственно.

1. Докажите, что плоскости и параллельны.

2. Найдите площадь , если площадь равна см².

1. Три отрезка и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости и параллельны.

1. Прямая пересекает параллельные плоскости и соответственно в точках и , причём, . Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и , причём, . Найдите длину отрезка .

1. Плоскости и попарно параллельны, прямые и скрещиваются. Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и ; прямая – соответственно в точках и . Докажите, что .

1. Скрещивающиеся прямые и параллельны плоскости . Через произвольную точку плоскости проведена прямая , пересекающая прямые и соответственно в точках и . Докажите, что отношение не зависит от выбора точки в плоскости .

1. Параллельные плоскости и пересекают сторону угла соответственно в точках и , а сторону этого угла – в точках и . Найдите:

1. и , если

2. и , если .

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Через точки и , расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и , а также параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и . Докажите, что:

1. плоскости и параллельны;

2. плоскости и пересекают плоскости и по параллельным прямым.

1. На трёх попарно параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, выбраны три равных отрезка и так, что точки и оказались по одну сторону от плоскости . Докажите, что:

1. плоскость параллельна плоскости ;

2. ;

3. прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;

4. прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , параллельна прямым и .

1. На трёх лучах, исходящих из точки , и, не лежащих в одной плоскости, взяты отрезки и такие, что . Докажите, что:

1. плоскость параллельна плоскости ;

2. ;

3. прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;

4. прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , содержит точку .

1. В кубе точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – точка пересечения диагоналей квадрата . Определить взаимное расположение плоскостей (параллельны, пересекаются, совпадают, невозможно определить):

1. и

2. и

3. и

4. и

5. и

6. и

7. и

8. и

9. и

10. и

11. и

12. и .

1. Через точку , расположенную между параллельными плоскостями и , проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках и и .

1. Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.

2. Вычислить длину отрезка , если .

1. Два луча, с началом в точке пересекают одну из параллельных плоскостей в точках , а другую – в точках .

1. Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.

2. Вычислить , если .

1. Плоскости и параллельны. Через точки и плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

1. Определить вид четырёхугольника .

2. Вычислить периметр четырёхугольника , если .

1. Через точки и стороны равностороннего треугольника проведены плоскости и , параллельные прямой .

1. Определить, на какие фигуры делится треугольник плоскостями и .

2. Вычислить периметры этих фигур, если .

1. Плоскость параллельна плоскости равностороннего треугольника . Через его вершины проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках . Вычислить периметр и площадь треугольника , если .

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Точки – середины отрезков соответственно.

1. Докажите, что плоскости и параллельны.

2. Вычислите периметр треугольника , если .

1. Плоскости и параллельны. Верно ли, что любая прямая плоскости параллельна плоскости ? Ответ объясните.

1. Верно ли, что две плоскости, параллельные одной прямой, параллельны? Ответ объясните.

6