Параллелограмм, его признаки и свойства

8 класс геометрия

03.09.2024

Классная работа.

Четырехугольники

Параллелограмм

Цели:

• Ввести понятие параллелограмма.
• Рассмотреть свойства параллелограмма.
• Рассмотреть признаки параллелограмма.
• Решение базовых задач.

Параллелограмм – четырехугольник,

у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В

С

А

D

ABCD – параллелограмм.

AB II CD, DC II AD.

Свойства параллелограмма

В

С

1

D

А

В параллелограмме противоположные

стороны равны и противоположные

углы равны.

∠ A = ∠C, ∠B = ∠D

ВС = AD, АВ = СD

3

4

Свойства параллелограмма

В

С

2

О

А

D

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

ВО = ОD, АО = ОС

О – точка пересечения диагоналей

4

Свойства параллелограмма

С

В

3

D

А

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 °.

∠ D + ∠C = 180 ° ,

∠ А + ∠D = 180 ° ,

∠ В + ∠C = 180 ° ,

∠ А + ∠B = 180 ° ,

5

1

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны,

то этот четырехугольник параллелограмм.

В

С

D

А

АВСD – четырехугольник,

АВ = CD, АВ ∥ CD

Дано:

Доказать:

АВСD – параллелограмм

6

1

Доказательство

С

В

3

2

Пусть АВ = СD и АВ ∥ СD,

проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники

∆ АBC и ∆ ACD:

1

4

D

А

∆ АBC = ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними

(АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС.

Поэтому ∠3 = ∠ 4.

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых

ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные

стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -

параллелограмм.

2

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно

равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

С

В

D

А

АВСD – четырехугольник,

АВ = CD, ВС = АD

Дано:

Доказать:

АВСD – параллелограмм

8

2

Доказательство

В

С

3

АВСD- четырехугольник,

АВ = CD, ВС = АD.

2

Проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники

∆ АBC и ∆ ACD:

1

4

D

А

∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам

(АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию).

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.

Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

3

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

С

В

О

А

D

АВСD – четырехугольник,

ВО = ОD, АО = ОС

Дано:

Доказать:

АВСD – параллелограмм

10

3

Доказательство

В

С

АВСD – четырехугольник,

ВО = ОD, АО = ОС.

2

3

О

Проведем диагонали АС и BD.

Рассмотрим треугольники

∆ АОB и ∆ CОD:

1

4

А

D

∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников

(ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD,

то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Задача

1

Дано :

В

АВСD – четырехугольник,

∠ BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA

С

Доказать :

АВСD – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим треугольники ∆ АBC

и ∆ ACD:

D

А

1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – по условию, АС – общая;

следовательно ∆ АBC = ∆ ACD – по стороне и двум прилежащим углам; = ВС = AD.

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при

параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

12

13

Ответить на вопросы:

• Какая фигура называется параллелограммом?
• Докажите, что в параллелограмме противоположные

стороны и углы равны.

• Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой

пересечения делятся пополам.

• Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Спасибо за внимание!

13