Перпендикуляр к прямой

Перпендикуляр к прямой

О

а

В

Отрезок ОВ называется перпендикуляром , проведённым из точки О к прямой а , если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны.

Точка В – основание перпендикуляра.

Теорема . Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

А

Доказательство .

1. Существование.

О

р

D

В

∆ AOD = ∆ COD

(по первому признаку),

OD – общая сторона,

∠ AOD = ∠ COD ,

OA = OC .

Следовательно, ∠ CDO = ∠ ADO

С

(смежные углы) .

К

∠ CDO = ∠ ADO = 90°.

АD ⊥ p, т. е. перпендикуляр существует.

2. Единственность.

Пусть АD = СD.

∆ ADD 1 = ∆ CDD 1 (по первому признаку),

А

DD 1 – общая сторона,

AD = CD ,

D 1

р

D

∠ ADD 1 = ∠ CDD 1 = 90°.

Следовательно, ∠ AD 1 D = ∠ CD 1 D .

Так как по предположению ∠ AD 1 D = 90°,

то ∠ СD 1 D = 90°,

∠ AD 1 C – развёрнутый,

C

D 1 А и D 1 С составляют прямую,

что невозможно.

Предположение неверно.

Теорема доказана.

O

a

Решаем в классе:

100, 105

Домашнее задание:

• Пункт 16, №113