План урока "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ"

9-й класс

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»

А. Н. Крылов

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации

Цели урока:

Обучающие Повторить определение, свойства, признаки четырёхугольников – параллелограмма. Повторить определение, свойства прямоугольника, ромба и квадрата, учить применять их на практических задачах. Учить анализировать условие задачи, вести по результатам анализа построение, проводить исследование.

Развивающие Развивать умение планировать собственную деятельность, преодолевать трудности интеллектуального труда.
Формировать навыки обобщения и систематизации знаний по теме.

Воспитательные Формировать потребность к самоконтролю; навыки партнёрской деятельности в группе, в коллективе; навыков самостоятельного обучения. Развивать чувства долга и ответственности за результаты собственной деятельности.
Создать условия для реализации учебных потребностей каждого ученика в классе.

ХОД УРОКА

I . Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока

Задачи на моделирование (в этих задачах все используемые палочки одинаковы по длине).

1. Из пяти палочек без наложения составить 2 треугольника и четырехугольник.

2. Из 7 палочек без наложения составить 3 треугольника и 3 четырехугольника.

3. Из 9 палочек составить 4 треугольника, 3 ромба, 2 трапеции и параллелограмм, не являющийся ромбом.

4. Из 9 палочек составить 5 треугольников, 3 ромба, 3 трапеции.

5. Из 8 палочек составить квадрат, 2 треугольника и выпуклый шестиугольник.

Вывод: любой многоугольник можно составить из треугольников. Обратное утверждение тоже верно.

Разбивать можно не только диагоналями, но и другими отрезками. Например, медианами, биссектрисами, средними линиями.

II. Повторение, систематизация и обобщение теоретических знаний по теме. Работа с таблицей (самостоятельная работа)

1.Игра «ДАНЕТКИ». Самостоятельная работа. Взаимопроверка по образцу.

1. Ромб – параллелограмм, у которого все углы прямые? (Нет)
2. Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны? (Да)
3. Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы равны? (Да)
4. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны?
(Да)
5. Параллелограмм – четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам? (Да)
6. Прямоугольник – параллелограмм, у которого все стороны равны? (Нет)
7. Ромб – параллелограмм, у которого все углы прямые? (Нет)
8. Квадрат – ромб, у которого все углы прямые? (Да)
9. Параллелограмм – четырехугольник, у которого две противоположные стороны попарно равны? (Нет)
10. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны?
(Да)

2. Сказка-загадка

Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали решать, кто будет их королем. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: "Давайте все отправимся в царство четырехугольников. Кто придет первым, тот и будет королем". Все согласились. Рано утром отправились все в путешествие. На пути им встретилась река, которая сказал: "Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам". Часть четырехугольников осталась на берегу, остальные благополучно перебрались на тот берег и отправились дальше. На пути им встретилась высокая гора, которая сказала: "Я пропущу только тех, у кого диагонали равны". Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, над которым был узкий мост. Мост сказал "Меня перейдут только те, у кого диагонали пересекаются под прямым углом". По мосту прошел только один четырехугольник, который, добравшись до царства, был провозглашен королем.

Вопросы:

1. Кто стал королем? (Квадрат)

2. Кто был основным соперником? (Прямоугольник)

3. Кто первым выбыл из соревнования? (Трапеция)

   1. Заполнить таблицу. Работа в парах. Самопроверка по образцу.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

Свойства

Задание

Систематизируя рассмотренные свойства данных фигур, цифрами отметить на рисунке количество известных свойств каждой фигуры

(Все фигуры имеют 4 свойства , параллелограмма, ромбы имеют дополнительно еще 3 свойства, прямоугольники – дополнительно 2 свойства, а квадраты имеют все свойства параллелограмма (4), дополнительно свойства ромба, прямоугольника – всего 9 свойств.)

3. Проверочный тест
Вариант 1.

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

Вариант 2.

1. Любой ромб является:

а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм - …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором …

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

Ответы к тесту:1 вариант: 1 – в); 2 – г); 3 – б).

2 вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – а).
III. Решение задач (по готовым чертежам)

Назовите цвета :

параллелограммов,

прямоугольников,

квадратов, треугольников

1. Задача
На сторонах АВ и СD прямоугольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30^о. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника
равна 3.
Дано: АВСD- прямоугольник, АВ=3, К- принадлежит АВ, М- принадлежит СD, КАС=30^о, АКСМ- ромб.

Найти АК.

Решение:

а) АКСМ- ромб, тогда АК=КС, ∆АКС- равнобедренный, значит КСА=КАС=30^о, АКС=120^о, ВКС=60^о

б) ∆КВС- прямоугольный, в нем ВКС=60^о, КСВ=30^о, тогда КВ=КС:2=АК:2

в) Т.к. КВ=АК:2, АВ=АК+КВ=АК+АК:2=3*АК:2=3, то АК=2

Ответ: АК=2
2. Решение задач

А) Решение задач на готовых чертежах (устно)

1) Рис.1. АВСD – ромб. Найти: МD + DN.




2) Рис.2. АВСD – ромб.  Найти: СВЕ.




Ответы к задачам на готовых чертежах:

1) МD + DN = 6 см.

2) СВЕ = 15⁰.

Б) Решение задач у доски с краткой записью

1) Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30⁰ меньше другого.

Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник АОВ – прямоугольный (рис.3). Пусть в ∆АОВ АВО = х, тогда ВАО = х + 30⁰, значит АВО + ВАО = х + х + 30⁰ = 90⁰, и х = 30⁰.

АВО = 30⁰, ВАО = 60⁰, а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ВАD = 120⁰, АВС = 60⁰.

Противолежащие углы в ромбе равны, тогда АDС = АВС = 60⁰, ВСD = BAD = 120⁰.

Ответ: 60⁰, 120⁰, 60⁰, 120⁰. Рис.3.

2) Угол между диагоналями прямоугольника равен 80⁰ . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 = АС/2 =АО и ∆АОВ – равнобедренный (рис.4.), тогда ОАВ = ОВА = 50⁰. В прямоугольнике все углы прямые, тогда ОАD = ВАD - ОАВ = 90⁰ – 50⁰ = 40⁰.

Ответ: 50⁰, 40⁰.

3) В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол АNВ, если АМС = 120⁰ .

Решение:
В ромбе противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е. ВАС = ВАD : 2 =ВСD : 2 = ВСА. Т.к. АМ – биссектриса ВАС, а ВАС = ВСА, то МАС = МСА : 2.

В треугольнике АМС МАС + МСА = 180⁰ - АМС = 180⁰ -120⁰ = 60⁰. МАС = МСА : 2, тогда МАС = 20⁰, ВАС = 40⁰.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, АВО = 90⁰ - ВАО = 50⁰. Рис.5.

В треугольнике АВN BAN = МАС = 20⁰, ABN = 50⁰, тогда

ANB = 180⁰ – (20⁰ + 50⁰) = 110⁰.

Ответ: ANB = 110⁰.

3.Самостоятельная работа по карточкам (разноуровневые задачи)

1) В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, А = 32⁰. Найдите углы треугольника ВОС.
Решение:

а) Рис.6. А = С = 32⁰; СО – биссектриса С, ОСВ = 16^о;

б) Треугольник СОВ – прямоугольный, ВОС = 90⁰, ОСВ = 16^о, ОВС = 74⁰.

Ответ: 90⁰, 16⁰, 74⁰.

2) В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DЕ – высоты треугольников АВО и СОD соответственно, ВОН = 60⁰ , АН = 5 см. Найдите ОЕ.

 Решение:

а) Треугольник АВО – равнобедренный (рис.7.), ВО = ОА т.к. в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, а т.к. ВОА = 60⁰, то ∆АВО – равносторонний, поэтому высота ВН – медиана треугольника АВО, тогда ОН = 5 см.

б) Треугольник ОВН = треугольнику ОDЕ ( по стороне и двум прилежащим углам ВО = ОD, ВОН = DОЕ – вертикальные, ОВН = ОDЕ – накрест лежащие при параллельных ВН и DЕ и секущей ВD).
Из равенства треугольников следует равенство сторон

ОН = ОЕ = 5 см.

Ответ: ОЕ = 5 см.

Дополнительная задача

В ромбе АВСD угол В тупой. На стороне АD взята точка К, ВКАD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, АС = 2ВК. Найдите угол АОВ.

Решение:
а) Проведем АЕ АD (рис.8), тогда КВ = АЕ, АС = 2АЕ, АСЕ = 30⁰.

б) СОВ = 60⁰, АОВ = 120⁰.

Ответ: 120⁰.

V. Итог. Фронтально. Устно.

В следующих предложениях заменить многоточие словами: «необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но необходимо».

1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником … (чтобы его диагонали были равны).

2) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом … (чтобы все его стороны были равны).

3) Для того, чтобы четырехугольник был ромбом …( чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делились пополам).

IV. Рефлексия деятельности (соотнесение результатов с поставленными целями урока) Определить  характер своей работы на уроке, выбрав одно из трех высказываний:

1)Я выполнял тяжелую для меня работу.
2)Я добросовестно трудился.
3)Я возводил храм науки

Домашнее задание.

Повторить п.

Решить:

1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите его стороны, если они относятся как 1:2.

2. Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 40°. Найдите углы ромба.

3. В четырехугольнике ABCD отрезок АО - медиана треугольника ABD, отрезок ВО - медиана треугольника АВС. Определите вид четырехугольника.

4. Составить КЛАСТЕР «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»

15