Площадь трапеции.

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс

Площадь трапеции

Проверка домашнего задания

№ 472

Дано: ABC- прямоугольный треугольник

S ∆ABC= 168 см ² , AB : AC=7 :12

Найти: AB и AC

РЕШЕНИЕ.

S ∆ABC = ½ АС · ВС

168= ½ 7х · 12х

168=42х ²

х=2

АС=14 см, ВС=24 см

Ответ: 14 см и 24 см.

B

7x

12x

А

C

Устно

Дано: АВСД – параллелограмм

АД=10см, АВ=6см,  30 º

Найти: S пар

В

С

6см

30 º

Д

10см

. Решение

• Проведём высоту ВН
• Треугольник АВН – прямоугольный.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. ВН=6:2=3см
• S пар= АД * ВН = 10*3=30см2

Ответ: 30см2

А

А

Устно:

Дано: ∆ABC, S ∆ABC = 24 см ² , АС=8см

Найти: ВН

Решение

S ∆ABC = ½ АС · ВН

24 = ½ *8*ВН

48 = 8*ВН

ВН=6см

Ответ: 6см

В

В

А

С

Н

Трапеция

ВС параллельна АД,

АВ не параллельна СД

М N – средняя линия трапеции

MN параллельна АД и СД

АС и ВД - диагонали трапеции

Если АВ=СД, то трапеция

равнобедренная

В равнобедренной трапеции

углы при основании равны.

 А=  В,  В=  С

основание

С

В

О

M

N

основание

Д

А

Высота трапеции

С

B

H 1

На рисунке BH и DH 1 - высоты трапеции.

D

A

H

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание .

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

Дано: ABCD -трапеция

AD и BC – основания трапеции

BH – высота трапеции

Доказать: S тр= 1/2(AD+BC) BH

Доказательство:

1 . Е – середина основания AD , AE=ED

2 . Проведём BE и CE

3 . Получаем треугольники: ABE , BEC , CDE

• По свойству площадей площадь трапеции равна сумме площадей трёх треугольников.

S ABCD =S ABE +S BEC +S CED =1/2AE BH+1/2ED BH+1/2BC BH=

=1/2 (AE+ED+BC)BH= ½ (AD+BC) BH

C

B

H

A

E

D

Второй способ доказательства:

b

a

Доказательство:

1. Сложим две одинаковые трапеции

так, чтобы получился параллелограмм

• S тр= ½ S пар = 1 /2 (a+b) h

S тр= ½ (a+b)h , где

а и b - основания трапеции

h – высота трапеции

h

a

b

Третий способ доказательства теоремы:

в

s=s пар + s тр =

=bh+1/2 (а -b)h=1/2(a+b)h

h

а

a-b

№ 480б

Дано: АВСД – трапеция, АВ и СД – основания трапеции

 Д=30 º , АВ=2см, СД= 10см, ДА = 8см

Найти: S тр

Решение.

1. S тр=1 /2 (C Д+АВ) АН

2. АН находим из прямоугольного ∆АДН.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 º , равен половине гипотенузы АН=8:2=4см

S тр= ½ (АВ+СД) АН = ½ ( 2+10) 4 = 24 см ²

Ответ: 24 см ²

2

А

В

8

30

10

Д

С

H

№ 481

Дано: АВСД – прямоугольная трапеция

АВ=ВС=6см,  С=135 º

Найти: S тр

Решение.

1. Проведём СН АД

2. Рассмотрим прямоугольный ∆СНД

3.  НСД=135 º - 90 º = 45 º

4.  СДН = 90 º - 45 º = 45 º

5. ∆СНД – прямоугольный и равнобедренный. СН=НД=6см

• АД=АН+НД = 6+6 = 12 см
• S тр=1 /2 (АД+ВС) АН= ½ (12+6) 6=54 см ²

Ответ: 54 см ²

В

6

С

6

А

Н

Д

Домашнее задание:

• № 480а
• № 482
• пп. 48-53.
• Найти другие способы доказательства теоремы о площади трапеции.