Подобие треугольников . 1 признак подобия

• В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами

Подобными являются любые два квадрата

Подобными являются любые два круга

два шара

два куба

B

A

• Отношением отрезков называется отношение их длин.
• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , , если

D

C

D

С

B

A

A 1

С 1

B 1

D 1

ПРИМЕР

• Даны два прямоугольных треугольника

Стороны Β C и CA пропорциональны MN и MK , так как

B

5

3

и

A

C

4

N

т.е.

?

15

K

НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

M

20

• Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.

B

5

например

3

C

A

4

N

25

15

K

M

20

• Даны два треугольника A Β C и A 1 Β 1 C 1 ,

у которых  A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 .

Стороны A Β и A 1 Β 1 , AC и A 1 C 1 , Β C и Β 1 C 1 , лежащие против равных углов, называют сходственными

Β 1

Β

A

A 1

C

C 1

• Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого .

Β

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

 A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 .

Β 1

A

C

A 1

C 1

Β

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

Β 1

A

C

A 1

C 1

k – коэффициент подобия .

• Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия .

Два треугольника называются подобными,

если их углы соответственно равны и

стороны одного треугольника

пропорциональны сходственным

сторонам другого, т.е.

В 1

В

С 1

А

С

А 1

А нельзя ли проще проверить, являются ли

треугольники подобными?

11

Оказывается можно! На последующих уроках рассмотрим три признака подобия треугольников. Сегодня на уроке сформулируем и докажем

Первый признак подобия треугольников:

Первый признак подобия треугольников

(доказательство)

Дано: ∆ АВС, ∆ А 1 В 1 С 1

∟ А= ∟ А 1 , ∟ В= ∟ В 1

Доказать: ∆ АВС ~ ∆ А 1 В 1 С 1

В 1

В

С

А

С 1

А 1

Доказательство:

Используя определение подобных треугольников нужно

доказать: 1) ∟ А= ∟ А 1 ; ∟ В= ∟ В 1 ; ∟ С= ∟ С 1

• Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
• Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
• Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

Β

Β 1

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

A

C

A 1

C 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Отношение периметров подобных треугольников равно
• коэффициенту подобия .

Β

Β 1

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

A

C

A 1

C 1

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По данным рисунка определите подобные треугольники

MN ║AC

В

N

М

А

С

Найдите х и у. если известно, что а ║в

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Β

Β 1

A

C

A 1

C 1

Дано:

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,

 A =  A 1 ,

Доказать:

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

Доказательство:

Β

Β 1

A

C

A 1

C 1

С 2

1

2

С

Доказательство:

Достаточно доказать, что  B =  B 1 .

Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 ,

Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам.

(из подобия).

По условию

AC = AC 2 .

Δ ABC = Δ ABC 2 , т.е.  B =  B 1 .

A

B

C 1

A 1

B 1

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Β 1

Β

A 1

C 1

A

C

Дано:

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,

Доказать:

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

Доказательство:

Β 1

A 1

C 1

Β

A

C

С 2

1

2

С

Доказательство:

Достаточно доказать, что  A =  A 1

Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 ,

Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам.

Отсюда

По условию

Δ ABC = Δ ABC 2 по трем сторонам, т.е.  A =  A 1

A

B

Β 1

A 1

C 1

1

• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK .
• Найдите MN ,

если AB = 3, CD = 4, PK = 2.

MN = 1,5

2

• Даны два подобных прямоугольных треугольника.
• Коэффициент подобия 1,5
• Стороны одного из них 3, 4 и 5.
• Найдите гипотенузу другого.

7,5

5 · 1,5 = 7,5

3

• По данным на рисунке найдите х .

х

12

5

4

х = 15

4

• Длины двух окружностей 2 π и 8 π .
• Найдите отношение их радиусов.

0,25

2 π : 8 π = 1 : 4

5

• Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1.
• Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2.

k 2 = 9, k = 3

Коэффициент подобия

6

3 · 2 = 6

сторона большего квадрата

Пропорциональные отрезки

Свойство биссектрисы

Определение подобных треугольников

Отношение периметров подобных фигур

Отношение площадей подобных фигур

1

3

2

5

4

6

9

8

7

12

10

11

14

15

13

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN .

Найдите EF ,

если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

7

8

B

В треугольнике АВС

АС = 6 см,

ВС = 7 см,

AB = 8 см,

BD – биссектриса. Найдите, AD , CD .

2

1

A

C

D

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см

подобен треугольнику

со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см.

Найдите коэффициент подобия.

Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3.

Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 ,

AB : A 1 B 1 = k = 4

S Δ ABC = 48 м 2 .

Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 .

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О , CD = 10 см.

Найдите периметр параллелограмма, если

C

B

O

10

A

D

B

Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм,

а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника

M

12

A

C

18

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем

T

M

 F = 20°,  E = 40°.

Найдите остальные углы этих треугольников.

4 0 °

E

P

2 0 °

K

F

Периметры подобных треугольников

12 мм и 108 мм соответственно.

Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Найдите стороны другого и

определите его вид.

Площади двух подобных треугольников равны 16 см 2 и 25 см 2 .

Одна из сторон первого треугольника равна 2 см.

Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся

как 1 : 3,

ВС = 10 см. Найдите AC , если

B

10

.

.

A

K

C

5

B

AD = 4

BC = 5

AB + DC = 12

Найти AB , DC , AC

2

1

4

C

A

D

На рисунке

Δ ВЕС ~ Δ АВС ,

АЕ = 16 см,

СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые.

Найдите ВС .

B

A

C

1 6

9

E

Масштаб плана 1 : 1000.

Какова длина ограды участка,

если на плане размеры

прямоугольника,

изображающего участок 2 см х 5 см.

Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3,

сумма их площадей равна 260 см 2 . Найдите площадь каждого треугольника.

1.

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.

Решение:

• Рассмотрим Δ AOD и Δ BOC :

 1=  2 (накрест лежащие при AD || BC , и секущей AC ;

 3=  4 (вертикальные)

• Δ AOD ~ Δ BOC (по двум углам)

= k

C

B

2

4

O

3

1

D

A

• .

k = 3

• AD + BC =

= 3 BC + BC = 4 BC

AD + BC = 4,8 см

(по условию)

B

C

• BC = 1,2 см
• AD = 3,6 см

2

4

O

3

1

D

A

Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см

B

4

2,5

20

E

A

D

C

5

1 0

1 6

F

2.

Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF .

Решение:

B

• Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

2,5

4

20

E

D

A

C

5

1 6

1 0

• Отсюда

Δ ABC ~ Δ DEF

по трем пропорциональным сторонам

F

B

• .

Рассмотрим прямые BC и DF ,

секущую AE

 1 =  2

(внешние накрест лежащие)

BC || DF .

E

1

A

C

2

D

Δ ABC ~ Δ DEF

Соответственно

 A =  E

 B =  F

 ACB =  EDF

F

3.

Отрезки AB и CD пересекаются

в точке O , причем .

Докажите, что  CBO =  DAO .

Решение:

• Рассмотрим Δ AOD и Δ C O B

•  DOA =  COB ( вертикальные).

• .

• Δ AOD ~ Δ C O B по углу и двум пропорциональным сторонам.

•  CBO =  DAO (из подобия) .

D

A

O

B

C

4. В треугольнике ABC

AB = 4, BC = 6, AC = 7.

Точка E лежит на стороне AB .

Внутри треугольника взята точка M так,

что MB = 5,25 , ME = 4,5 , AE = 1.

Прямая BM пересекает AC в точке P .

Докажите, что Δ APB равнобедренный.

Решение:

• .

Рассмотрим Δ BEM и Δ ABC

BE = AB − AE = 4 – 1 = 3

BE : AB = 3 : 4 = 0,75

EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75

BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75,

т.е. стороны треугольников

пропорциональны

A

1

E

4

B

4,5

7

5,25

P

M

6

C

Решение

• Δ BEM ~ Δ ABC по трем пропорциональным сторонам.

Следовательно,  B M E =  A С B

 E B M =  B A C

 B E M =  A B C .

Рассмотрим треугольник ABP :

 EBM =  BAC , т.е.  A B P =  BA P .

Δ ABP – равнобедренный, что и требовалось доказать.

5.

Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90.

Середина M стороны AB соединена с вершиной D .

Отрезок M D пересекает AC в точке O .

Найдите отрезки A О и C О .

Решение:

• Рассмотрим

Δ AO M и Δ C О D

 AO M =  C О D ( вертикальные ) ,

 M AO =  О CD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC ) .

Отсюда Δ AO M ~ Δ C О D

по двум углам.

C

B

M

O

D

A

• .

AM = ½ AB (по условию)

AB = CD ( ABCD - параллелограмм),

AM : CD = 1 : 2

C

B

M

O

D

A

• Δ AO M ~ Δ C О D

т.е. AO = 0,5 C О

• AO = ⅓ AC = ⅓· 90 = 30

CO = ⅔ AC = ⅔· 90 = 60

Решите задачи, отметьте нужные ячейки

А

1

Б

2

В

3

Г

4

5

1. По данным рисунка х равен

А) 7

Б) 14

В) 3,5

Г) 14/3

7

х

2) По данным рисунка периметр Δ ABC равен

А) 9

Б) 27

В) 36

Г) 18

В

3

2

4

А

С

3) По данным рисунка отрезок BC равен

А) 3,75

Б) 7,5

В) 5

Г) 4,5

В

3

3

2,5

А

С

0,5

4

B

E

12

9

4

3

F

6

D

A

C

18

4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся

А) 3 : 1

Б) 9 : 1

В) 6 : 1

Г) 9 : 4

B

E

12

9

4

3

F

6

D

A

C

18

5) По данным рисунка прямые AB и DE

А) нельзя ответить

Б) пересекаются

В) параллельны

ОТВЕТЫ:

А

1

Б

2

В

3

Г

4

5

• управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки выход

Возврат в содержание

Переход по слайдам

Возврат к гиперссылке

Справка