Показательные уравнения. Методы решения.

Показательные уравнения.

Показательным называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Например,

Простейшим показательным уравнением называется уравнение, вида .

Решение любого показательного уравнения сводится к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений.

1. метод уравнивания показателей;

2. метод введения новой переменной;

3. метод разложения на множители;

4. функционально-графический метод;

5. метод почленного деления;

6. метод группировки.

Разберём каждый из этих методов отдельно.

1. Метод уравнивания показателей основывается на том свойстве, что, если основания степеней равны, то равны и показатели степеней. Поэтому при использовании данного метода необходимо левую и правую часть уравнения привести к степени с одинаковыми основаниями. Затем приравниваем показатели и решаем получившееся уравнение.

Например,

Используя свойства степеней, упрощаем выражения в обеих частях уравнения.

Ответ: 3

1. Метод введения новой переменной используется в случае, когда после упрощения обеих частей уравнения появилась возможность обозначить какую-то степень другой переменной и, при этом, все остальные степени также будут выражаться через введённую переменную.

Например,

Введём новую переменную: , тогда уравнение принимает вид:

Возвращаемся к исходной переменной:

Ответ: .

1. Метод разложения на множители, в частности, вынесения общего множителя за скобки, используется в том случае, когда степени, входящие в уравнение имеют одинаковые основания и коэффициенты перед переменной в показателе степени также одинаковы.

Например,

Оба слагаемых, стоящих в правой части уравнения, имеют общий множитель . Вынесем его за скобки (напомним, что вынести за скобки – значит разделить каждое слагаемое на этот общий множитель, а при делении степеней показатели вычитаются).

Ответ: 1.

1. Функционально-графический метод используется обычно в тех случаях, когда уравнение имеет смешанный тип, т.е. в нём присутствуют различные функции. Тогда необходимо преобразовать уравнение, чтобы в разных его частях находились разные функции. Построить графики этих функций и найти их точки пересечения. Абсциссы этих точек и будут корнями данного уравнения.

Например,

Преобразуем данное уравнение:

Построим графики функций, стоящих в разных частях уравнения.

– показательная функция, график проходит через точку , возрастающий на всей области определения, т.к. , дополнительные точки .

– обратная пропорциональность, графиком является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на 0,5 ед. отрезков влево. Дополнительные точки для функции .

График обратной пропорциональности достаточно построить только в I четверти, т.к. график показательной функции не опускается ниже оси Ох.

Графики этих функций пересекаются в точке , значит, корнем исходного уравнения является . Для убедительности, можно выполнить проверку.

Равенство верное, значит, действительно,

Ответ:

1. Метод почленного деления заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Он применяется для решения однородных показательных уравнений.

Например,

Разделим обе части уравнения на . Это возможно сделать, т.к. значение показательной функции не может быть равным нулю.

Теперь можно сделать замену переменной:

Решив это квадратное уравнение, находим корни:

Возвращаемся к исходной переменной:

Ответ: 1.

1. Метод группировки заключается в том, чтобы собрать степени с одинаковыми основаниями в одной части уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Например,

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

Ответ: 1.

Свойства степеней с вещественным показателем.

Степени с вещественными показателями обладают такими же свойствами, что и степени с рациональными показателями. Освежим их в памяти.

1. Решить графически уравнение:

1. Решить уравнение:

1. Решить уравнение:

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Найти корни уравнения:

1. Решить уравнения:

1. При каждом значении параметра определить число корней уравнения:

2. Найти значение параметра , при котором уравнение имеет два различных корня.

3. Найти значения параметра , при которых уравнение не имеет корней.

7