Построение правильных многоугольников

Международный конкурс «Математика и проектирование»

Тема:

«Построение правильных многоугольников»

Автор проекта:

Косова Татьяна Анатольевна –

Учитель математики МОУ гимназии имени А.С. Пушкина

Г.Шахты, Ростовская обл.

Цели и задачи

• Углубить знания по основному курсу геометрии;

• Привить графическую культуру учащимся;

• Сформировать умения и навыки решения задач на построение правильных многоугольников;

• Повысить у учащихся интерес к изучению математики, развить способности к исследовательской и проектной деятельности, развивать наблюдательность, умение мыслить логически;

• Воспитывать внимательность и аккуратность в выполнении чертежей.

СОДЕРЖАНИЕ

• Вступление

• Исторический экскурс

• Практическое применение знаний

• Заключение

• Литература

Вступление

На практике нередко бывает необходимо разделить окружность на некоторое число равных частей.

Это находит практическое применение в технике :

технические детали: колеса, гайки, диски, плашки.

В живописи, архитектуре, дизайне:

Логотип компании

Витраж «роза» собора Парижской

Богоматери (12 метров 90 см.)

Орден св. Георгия

Различные виды орнамента

С задачей деления окружности на равные части связана важная для практики задача построения правильных многоугольников:

Построение квадрата

Если разделим окружность на n равных частей циркулем и линейкой, то легко построим правильный n -угольник.

Деление окружности на

восемь равных частей

Построение восьмиугольника

Исторический экскурс

Задача деления окружности на равные части привлекала внимание математиков и нематематиков в течение многих столетий .

Ещё две с половиной тысячи лет назад решали и решили задачу о делении окружности на 5 равных частей древнегреческие математики из школы Пифагора .

Исторический экскурс

Большой интерес к построению правильных многоугольников проявил гениальный художник и учёный эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519 )

Крупнейший греческий геометр Архимед 2200 лет назад занимался делением окружности 7 равных частей.

  звёздчатые семиугольники (гептаграммы)

Можно ли циркулем и линейкой разделить окружность на n равных частей при любом n ?

Только в конце XVIII века математика оказалась в состоянии справиться с задачей деления окружности на n равных частей.

В 1796 г. девятнадцатилетний юноша Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), вследствие один из крупнейших немецких математиков, доказал , что не при всяком n можно циркулем и линейкой разделить окружность на n равных частей.

Более того, он точно установил, при каких значениях n это возможно и при каких невозможно.

Теорема Гаусса

• Если n – простое число, то правильный n- угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n имеет вид

( k - простое неотрицательное число)

• Если n – составное число, то правильный n- угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, все нечётные простые сомножители различные и каждый из них имеет вид

Например,

Следовательно, по теореме Гаусса циркулем и линейкой можно построить правильные треугольник, пятиугольник, семьнадцатиугольник.

Можно ли построить циркулем и линейкой 257-угольник? А 65537-угольник?

В тридцатых годах XIX века германский математик Фридрих Юлиус Ришело (1808-1875) провёл построение 257 –угольн ика. И посвятил этому обширную статью в одном из немецких

Журналов.

При k = 3, n = 257

Построить 257-угольник циркулем и линейкой возможно, так как 257 – простое число.

Фридрих Юлиус Ришело

В конце XIX века профессор О. Гермес 10 лет жизни выполнял построение 65537 – угольника. Рукопись с описанием этого построения занимает солидный чемодан и хранится в одном из германских университетов.

При k = 4, n = 65537

Построить 65537-угольник циркулем и линейкой возможно, так как 65537– простое число.

Можно ли построить циркулем и линейкой правильный 7-угольник? А 15 – угольник?

По теореме Гаусса правильный семиугольник циркулем и линейкой построить невозможно.

7 – простое число, но оно не может быть представлено в виде

То же можно повторить относительно правильного одиннадцатиугольника, тринадцатиугольника.

Построить правильный пятнадцатиугольник циркулем и линейкой возможно.

Число 15 разлагается на два различных простых сомножителя (15 = 3*5), причём каждый из них имеет вид

Практическое применение знаний

Построение правильных многоугольников тесно тесно связано с задачей деления окружности на равные части или задачей построения угла, содержащее данное целое число градусов.

Например, как построить циркулем и линейкой угол в 15° ?

∆ АОВ – равносторонний

ے АОВ равен 60°

ОК – биссектриса ے АОВ

ے КОВ равен 30°

ОМ –биссектриса ے КОВ

ے МОВ равен 15°

Отрезок МВ – сторона правильного 24-угольника.

Задачи для практического применения знаний

1. Как вписать в окружность правильный десятиугольник? Правильный пятиугольник?

2. Как построить циркулем и линейкой угол в 18° ?

3. Как построить циркулем и линейкой угол в 3° ?

4. Как разделить окружность на 15 равных частей?

5. Представьте себе, что перед вами окружность, разделённая на 17 равных частей . Как вы впишите в неё правильный 51-угольник?

Задачи для практического применения знаний

6. Если вы хотите вписать в окружность правильный пятиугольник, то можете воспользоваться приближённым способом: разделите диаметр d на 5 равных частей и положите сторону а 5 искомого треугольника равной 3 ∕ 5 d ; а 5 ≈ 3 ∕ 5 d . Выполните это построение. Как велика ошибка, которую вы при этом допустите?

7. Разделить окружность циркулем и линейкой на 7 равных частей в точности невозможно. Но это возможно сделать приближённо с более чем достаточной для практики точностью. Такой способ указал в III веке до н.э. Архимед, знаменитый греческий геометр. Он строит сначала сторону правильного треугольника, вписанного в окружность (обозначим эту сторону через а 3 ), делит её пополам и принимает , что сторона правильного семиугольника (обозначим её через а 7 ), вписанного в ту же окружность, равна 1 ∕ 2 а 3 ; а 7 ≈ 1 ∕ 2 а 3 . Как велика ошибка, которую мы при этом допустим?

Заключение

Ни один вид задач не даёт столько материала для развития математической инициативы, практических умений и логических навыков учащегося , как геометрические задачи на построение.

Эти задачи, обычно, не допускают стандартного подхода, способствуют развитию научного любопытства , то есть желания не только приобрести знания, но и умножить их.

Изучение истории математики способствует развитию мышления . Великий естествоиспытатель, математик и историк Г.В. Лейбниц подчёркивал, что

история науки учит искусству открытий!!!

Список литературы

1. Школьник А.Г. , «Задача деления круга», 1948, стр.72

2. Адлер А., «Теория геометрических построений», 1940

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. «Геометрические построения на плоскости», 1955