Презентация "Формула Пика"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Кормиловского муниципального района

«Юрьевская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательский проект

«Формула Пика как один из рациональных способов нахождения площади многоугольников»

Выполнила: ученица 11 класса Исангулова Виктория Руководитель: Касаткина Елена Викторовна, учитель математики

Цели

• Изучить иной способ определения S многоугольников, единую формулу для всех многоугольников – Теорему Пика
• Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

задачи

• Прочитать дополнительную литературу и сайты в интернете по теме проекта. Познакомиться с биографией Георга Пика
• Изучить теорему Пика
• Разобрать задачи из открытого банка заданий ФИПИ по ОГЭ
• Составить свои примеры на нахождение площади многоугольника на клетчатой поверхности
• Выступление перед обучающимися 8-ых и 9-ых классов и сбор статистических данных о времени необходимого для решения задач на нахождение площади различными способами
• Создание презентации

• Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.
• Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.
• Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Способ - разбиение

Решение :

1) S 1 =8 2 = 64 (кв. ед.)

2) S 2 = 6*6/2 = 36/2 = 18 (кв. ед.)

3) S 3 = 10*2/ 2 = 20/2 = 10 (кв. ед.)

4) S = 64+18+10 = 92 (кв. ед.)

Ответ : 92 кв. ед.

Способ – достраивание

Решение:

1) S ABF =3 * 2 : 2 = 3 (кв. ед.)

2) S ACD =2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

3) S CBE =1 * 1 : 2 = 0,5 (кв. ед.)

4) S CEDF =1 * 1 = 1 (кв. ед.)

5) S ABC = S ABF - (S BCE + S ACD + S CEFD ) = 3 - (0,5 + 1 + 1) = 0,5 (кв. ед.)

Ответ: 0,5 кв. ед.

Способ – достраивание

Решение :

• S 1 = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.)
• S 2 = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)
• S 3 = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.)
• S 4 = 5 * 3 = 15 (кв. ед.)
• S 5 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)
• S 6 = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.)
• S 7 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)
• S Ф = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + + S 7 = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 (кв. ед.)

Ответ : 39 кв. ед.

Георг пик

• Георг Александр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
• Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.
• Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Алгоритм вычисления площади многоугольника с помощью формулы Пика

1.Отметить внутренние и граничные узлы.

2.Считаем количество внутренних узлов, граничных узлов.

3.Находим площадь фигуры по формуле:

S = В + Г : 2 - 1.

В – количество целочисленных точек внутри многоугольника

Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника

Решение:

S1 = 4 * 7 – ((4 * 7 : 2) + (2 * 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 (кв. ед.)

S2 = 2 * 1 : 2 = 1 (кв. ед.)

S3 = 5 * 1 : 2 = 2,5 (кв. ед.)

S4 = 5 * 3 = 15 (кв. ед.)

S5 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

S6 = 3 * 3 : 2 = 4,5 (кв. ед.)

S7 = 2 * 3 : 2 = 3 (кв. ед.)

SФ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + + S7 = 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 (кв. ед.)

Ответ: 39 кв. ед.

В = 35, Г = 10

S = 35 + 10 : 2 – 1= 39 (кв. ед.)

Ответ: 39 кв. ед.

Формула Пика для окружностей

1 способ.

Решение по формулам :

Примем за 3,14.

R 1 = 2,9

R 2 = 2

S кол = (3.14 * 2.9 * 2.9) – (3.14 * 2 * 2) = (3.14 * 8.41) – (3.14 * 4) = 26.4074 – 12.56 = 13.8474 (кв. ед.)

Ответ : 13,8474 (кв. ед.)

2 способ.

Решение по формуле Пика :

В 1 = 21 В 2 = 9

Г 2 = 16 Г 2 = 12

S БК = 21 + 16 : 2 – 1 = 28 (кв. ед.)

S МК = 9 + 12 : 2 – 1 = 14 (кв. ед.)

S кол = 28 – 14 = 14 (кв. ед.)

Ответ : 14 (кв. ед.)

Статистика времени

Традиционный способ

(мин)

По формуле Пика

(мин)

• Кол-во учащихся, допустивших ошибки

8 класс (15 человек)

ТС

6,8

Безошибочных работ

3,5

ФП

9 класс (15 человек)

6,6

10

ТС

3,7

3

10-11 классы (10 человек)

ФП

4,7

13

5

12

2,4

7

Всего (40 учащихся):

2

4

6,3

3,4

8

0

27

6

10

10

13

30