Презентация к уроку "Линейная функция, её график и свойства" (7 класс)

Тема урока

«Линейная функция, ее график и свойства»

Учитель математики МАОУ СОШ № 65 с УИОП

Вяткина Е.А.

Г. Екатеринбург

В первой половине XVII века в связи с развитием механики в математику проникают идеи изменения и движения. В это время начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой.

Французский математик Рене Декард ( именем

которого и названа декардова система координат)

представлял себе функцию как зависимость

ординаты точки кривой от её абсциссы.

Термин «функция» (от латинского functio – исполнение, совершение) впервые ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц.

Из истории

Рене Декард

(1596-1650)

Готфрид Лейбниц

(1646-1716)

Актуализация знаний

Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой одному значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Область определения функции - все значения, которые может принимать независимая переменная - Х – аргумент, абсцисса точки

Область значений функ ции - все значения, которые может принимать зависимая переменная – У – функция, ордината точки

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции .

Задача 1.

Мама купила несколько конфет по цене 5 рублей за конфету и одну шоколадку по цене 65 рублей. Сколько она заплатила за всю покупку?

Составьте выражение, с помощью которого можно подсчитать стоимость покупки.

n - рублей стоит вся покупка

d – количество конфет

Как вы думаете, от чего зависит стоимость покупки?

n=5d+65

От числа покупаемых конфет.

Итак, мы получили формулу: n = 5d + 65

Общий вид формулы: y = kx + b , где k и b – некоторые числа, x – переменная величина.

Функция, с которой мы столкнулись в данной задаче, называется линейной .

Функция вида y = kx + b – называется линейной функцией , где

х – аргумент (независимая переменная),

у – функция (зависимая переменная),

k, b – некоторые числа (коэффициенты), k ≠ 0

• Функция вида у = kx + b называется линейной .
• Графиком функции вида у = kx +b является прямая .
• Для построения прямой необходимы только две точки , так как через две точки проходит единственная прямая.

0). Этой формулой задается прямая пропорциональность . Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции. Если b = 0, то график линейной функции проходит через начало координат (через точку О(0;0). " width="640"

Рассмотрим частные случаи

Если b = 0 , то формула y = kx + b принимает вид y = kx ( k k 0). Этой формулой задается прямая пропорциональность .

Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Если b = 0, то график линейной функции проходит через начало координат (через точку О(0;0).

Задача 2:

Рассмотрим частные случаи

Если k = 0 , то формула y = kx + b принимает вид y = b.

Функция, задаваемая этой формулой, является линейной . Она принимает одно и то же значение при любом х .

Графиком функции у = b, где b  0, является прямая, параллельная оси абсцисс

Задача 3. Является ли линейной функция, заданная формулой:

1) y = 2x – 3

2) y = - x + 5

3) y = 8x

4) y =7 – 9x

5) y = x/2 + 1

6) y = 2/(x + 1)

7) y = x 2 – 3

8) y =5

?

Обратите внимание на то, что функции y = 8x и y=5 являются линейными (это частные случаи линейной функции).

Пример 1 Построить график функции у = - 2х + 3

у = - 2х + 3 – линейная функция. Графиком линейной функции является прямая, для построения прямой нужно иметь две точки.

у

х – независимая переменная, поэтому её значения выберем сами ;

у – зависимая переменная, её значение получится в результате подстановки выбранного значения х в функцию.

Результаты запишем в таблицу:

3

У= - 2х+3

2

0

х

у

1

выбираем

сами

- 1

3

0

2

1

х

Если х = 0, то у = - 2 · 0 + 3 = 3 .

- 1

Если х=2, то у = -2 · 2+3 = - 4+3= -1 .

Точки (0;3) и (2; -1) отметим на координатной плоскости и проведем через них прямую.

y

Пример 2

у = -2х + 1

Построить график функции

а) у = -2х + 1 х  (-3; 2)

7

(-3; 7)

1. Составим таблицу значений:

х

-3

у

2

7

-3

k = -2

2. Получим точки:

(-3; 7), (2; -3)

3. Построим эти точки и

через них проведем прямую.

O

x

-3

2

1

4. Выделим отрезок х  (-3; 2) .

(2; -3)

-3

Если k

0

График функции

10.10.2015

Пример3

Построить график линейной функции у = 2 х +3

Составим таблицу:

k = 2

у

1

0

х

у

3

5

5

Построим на координатной плоскости точки ( 0 ; 3 ) и ( 1 ; 5 ) и проведем через них прямую

3

1

0

1

х

Если k › 0, то линейная функция

у = kx + b возрастает.

Вывод:

Функция у = kx + b называется возрастающей , если

большему значению аргумента соответствует

большее значение функции (двигаясь по графику

функции, мы поднимаемся вверх ).

Функция у = kx + b называется убывающей , если

большему значению аргумента соответствует

меньшее значение функции (двигаясь по графику

функции, мы опускаемся вниз ).

10.10.2015

График линейной функции

Пример 4

y

Построить график функции

а) у = -3

1. При любом значении аргумента

х значение функции равно одной

и той же величине у = -3.

2. Точки А(-1; -3), В(2; -3)

принадлежат графику

функции.

x

-1

O

2

3. Построим эти точки и

через них проведем прямую.

1

у = -3

(-1; -3)

(2; -3)

-3

Графиком функции у = b, где b  0, является прямая, параллельная оси абсцисс

0, то линейная функция у = kx + b возрастает. Если k = 0, то график линейной функции у = kx + b параллелен оси абсцисс (или совпадает с ней). График линейной функции 10.10.2015 " width="640"

Вывод:

Величина k определяет наклон графика

функции y = kx + b

Если k

у = kx + b убывает.

Если k 0, то линейная функция у = kx + b возрастает.

Если k = 0, то график линейной функции у = kx + b параллелен оси абсцисс (или совпадает с ней).

График линейной функции

10.10.2015

С помощью графика линейной функции у = 2х - 6 ответить на вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0 ?

б) при каких значениях х будет у  0 ?

в) при каких значениях х будет у  0 ?

а) у = 0 при х = 3

б) у  0 при х  3

у

в) у  0 при х  3

1

Если х  3 , то прямая расположена выше оси х , значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны

3

0

1

х

Если х  3 , то прямая расположена ниже оси х , значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны

-6

На каком рисунке коэффициент k в уравнении линейной функции отрицателен?

у

у

у

• 1 2 3

• 4 5

х

х

х

у

у

х

х

Назовите знак коэффициента k для каждой из линейных функций:

Проверка:

№ 1,№2 - -

№ 3, №4- +

Заполните пропуски:

• Прямой пропорциональностью называется функция вида у = ___ , где х – ______ переменная , k – коэффициент, число.

• Линейной функцией называется функция вида y= kx+__ , где k и b - некоторые числа.

• График линейной функции представляет собой ________.

• Чтобы построить график линейной функции, необходимо:

1)выбрать значения _______________ переменной x ;

2)найти значение _________ у от выбранных значений x;

3)отметить найденные точки на ____________ плоскости ;

4)через построенные точки провести ______________ .

Заполните пропуски:

• Прямой пропорциональностью называется функция вида у = kx , где х – переменная , k – коэффициент , число.

• Линейной функцией называется функция вида y= kx+b , где k и b - некоторые числа.

• График линейной функции представляет собой прямую .

• Чтобы построить график линейной функции, необходимо:

1)выбрать значения независимой переменной x ;

2)найти значение зависимой переменной у от выбранных значений x;

3)отметить найденные точки на координатной плоскости ;

4)через построенные точки провести прямую .

На уроке я работал

активно / пассивно

2. Своей работой на уроке я

доволен / не доволен

3. Урок для меня показался

коротким / длинным

4. За урок я

не устал / устал

5. Мое настроение

стало лучше / стало хуже

понятен / не понятен

полезен / бесполезен

6. Материал урока мне был

интересен / скучен

легким / трудным

7. Домашнее задание мне кажется

интересным / неинтересным

Спасибо за урок!