Презентация к уроку Независимые события

§ 69. Независимые события. Умножение вероятностей

Зависимые

Два события называют зависимыми , если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например: на столе лежат 3 белых и 2 чёрных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его на стол. Если появился белый шар (событие А ), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В ) Р( В ) = = 0,5 . Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событие А не произошло), то вероятность Р( В ) = =0,75 . Таким образом, вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В являются зависимыми.

Независимые

Два события называются независимыми , если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Например: опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что орёл появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В .

События A и B называют независимыми, если выполняется равенство

P (AB) = P (A) ⋅ P (B).

Например подбрасывание 2 кубиков:

A – выпадение “1” на

первом игральном кубике.

B – выпадение “6” на

втором игральном кубике.

⋅

Задача № 1

Выяснить являются ли события A и B независимыми, если:

• P (A) = 0,2 ; P (B) = 0,5 ; P (AB) = 0,1.

2) P (A) = ; P (B) = ; P (AB) =.

Решение: Т.к. P (AB) = 0,1 = 0,2 ⋅ 0,5 = P (A) ⋅ P (B). Следовательно события A и B являются независимыми.

Решение: Т.к. P (A) ⋅ P (B) = ⋅ = ≠ = P (AB).

Следовательно события A и B не являются независимыми.

Задача № 2

Пусть наугад называется одно из первых десяти натуральных чисел и рассматриваются события:

A – названо чётное число, B – названо число, кратное пяти.

Выяснить являются ли события A и B независимыми.

Решение: Среди десяти чисел 1, 2, 3 … 8, 9, 10 чётных чисел всего 5, а кратных пяти 2 числа, поэтому P (A) = ; P (B) =. Событие AB состоит в названии числа кратного как 2, так и 5, т.е. кратного 10. Среди данных чисел, число 10 является единственным таким числом. P (AB)= = 0,1.

P (A) ⋅ P (B)= ⋅ = = P (AB). Следовательно события A и B являются независимыми.

Задача № 3

За офисом наблюдают две независимые друга от друга видеокамеры . Вероятность того , что течение суток первая видеокамера выйдет из строя равна 0,001 , а вероятность того , что выйдет из строя вторая , равна 0,0005 . Найти вероятность , что в течение суток выйдут из строя обе видеокамеры.

Решение: Пусть событие А - выход из строя в течение рассматриваемых суток первой видеокамеры , В - выход из строя в течение тех же суток второй камеры. Согласно условию задачи Р (А) = 0,001; P (B) = 0.0005. Событие АВ - выход из строя в течение суток обеих видеокамер . Считая события А и В независимыми находим

P (AB) =P (A) ⋅P(B) =0,001 ⋅ 0,0005 = 5⋅

Ответ: 5⋅

Задача № 4

Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым орудием равна 0,8 , а вторым орудием равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним орудием, после того как они оба, стреляя по цели, сделали по одному выстрелу.

Решение: Пусть “+” обозначает попадание в цель, а “–” означает промах по цели, тогда :

1 выстрел 2 выстрел

Нам необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания. Этому условию удовлетворяют события B, C, D. Следовательно нам необходимо найти

P (B+C+D) = P () = 1 – P (A) = 1 - (1-0,8)⋅(1-0,7) = 1 - 0,2⋅0,3 =1 - 0,06 = 0,94.

Ответ: 0,94.

_ _

A)

B)

C)

D)

_

+

_

+

+

+

8