Презентация к уроку по математике "Комплексные числа"

Комплексные числа

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Х+А=В - недостаточно положительных

чисел

А · Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на

множестве рац.чисел

Х ² =2 или Х ³ =5 - корни - иррациональные

числа

Иррациональные

числа

Рациональные

числа

Действительные числа

А · Х ² + В · Х+ С =0

При D

Иррациональные

числа

Рациональные

числа

+

Действительные числа

Иррациональные

числа

Рациональные

числа

+

Действительные числа

Комплексные числа

Х ² =-1

Х = i -корень уравнения

i - комплексное число, такое , что

i ²=-1

А + В · i

ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А + В · i

А и В – действительные числа

i - некоторый символ , такой, что i ²= -1

А – действительная часть

В – мнимая часть

i – мнимая единица

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексно сопряженные числа .

Z= А - В · i

Z= А + В · i

СОПРЯЖЕННОЕ

(Z) = Z

Модуль комплексного числа

Z = A + B i =

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z =r

φ - аргумент комплексного числа

Z=r cos φ + i r sin φ =

= r (cos φ + i sin φ )

Для Z =0 аргумент не определяется

Т.к Z =r =

Z= А + В · i= cos φ +i sin φ

Сложение и умножение комплексных чисел

Геометрическая форма

Алгебраическая форма

Сумма

(A+iB) + (C+iD)=

(A+C)+(B+D)I

Произведение

Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 )

Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 )

Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )]

Произведение

(A+iB) · (C+iD)=

( AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1 = Z 2 , то получим

Z²=[r (cos φ + i sin φ )]²=

r² (cos2 φ + i sin 2 φ )

Z³= Z²·Z=[r (cos φ + i sin φ )]²·r (cos φ +

i sin φ )= r³ (cos3 φ + i sin 3 φ )

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ + i sin φ )≠0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*)

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения

является корнем степени n из числа ω .

Z= r (cos φ + i sin φ )

ω = ρ (cos ψ + i sin ψ )

Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Теорема Гаусса : каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней.

Пример:

Решить уравнение:

Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2

Z 1 · Z 2 = Z 1 · Z 2

(Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 )

(Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )

Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание – операция, обратная сложению:

Z + Z 2 = Z 1

Z + Z 2 +(- Z 2 ) = Z 1 +(- Z 2 )

Z = Z 1 - Z 2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z 2 = Z 1

Разделив обе части на Z 2 получим:

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Найти разность и частное комплексных чисел

Решение:

Литература

• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,
• Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г
• НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г