Презентация к уроку "прямоугольные треугольники"

Прямоугольный

треугольник

КЛАСС

С о д е р ж а н и е

Из истории математики

Определения

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Задачи по готовым чертежам

Контрольный тест

Это интересно

Об авторе

Из истории математики

Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской

геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса .

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa ,

означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая .

Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны

натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова « катетос »,

которое означало отвес , перпендикуляр . В средние века словом катет

означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его

стороны называли гипотенузой, соответственно основанием.

В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и

широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Определения

А

Треугольник – это геометрическая фигура,

состоящая из трёх точек, не лежащих на одной

прямой,

и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Если один из углов треугольника прямой,

то треугольник называется прямоугольным.

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая

против прямого угла, называется гипотенузой ,

С

В

а две другие – катетами .

Некоторые свойства

прямоугольных треугольников

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 ,

равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы,

то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

Признаки равенства

прямоугольных треугольников

• Если катеты одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Докажем?

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного

треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу

другого, то такие треугольники равны.

Докажем?

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,

то такие треугольники равны.

Докажем?

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и катету другого,

то такие треугольники равны.

Докажем?

Признаки равенства

прямоугольных треугольников

• Если катеты одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Докажем?

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного

треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу

другого, то такие треугольники равны.

Докажем?

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,

то такие треугольники равны.

Докажем?

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и катету другого,

то такие треугольники равны.

Докажем?

Если катеты одного прямоугольного треугольника

соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

А

А 1

Дано:

∆ АВС – прямоугольный,

∆ А 1 В 1 С 1 – прямоугольный,

ВС = В 1 С 1 , АС = А 1 С 1 .

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

Доказать:

В 1

С 1

В

С

Доказательство:

следует из первого признака равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного

треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу

другого, то такие треугольники равны.

А

А 1

Дано:

∆ АВС – прямоугольный,

∆ А 1 В 1 С 1 – прямоугольный,

АС = А 1 С 1 ,

Доказать:

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

В 1

С 1

В

С

Доказательство:

следует из второго признака равенства треугольников

(по стороне и прилежащим к ней углам)

9

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,

то такие треугольники равны.

А

А 1

Дано:

∆ АВС – прямоугольный,

∆ А 1 В 1 С 1 – прямоугольный,

АВ = А 1 В 1 ,

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

Доказать:

В 1

В

С 1

С

Доказательство:

т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° ,

то два других острых угла также равны,

поэтому треугольники равны

по второму признаку равенства треугольников

(по стороне и прилежащим к ней углам).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и катету другого,

то такие треугольники равны.

А

А 1

Дано:

∆ АВС – прямоугольный,

∆ А 1 В 1 С 1 – прямоугольный,

АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 .

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

Доказать:

В 1

В

С 1

С

Доказательство:

Наложим ∆ А 1 В 1 С 1 на треугольник ∆ АВС.

Т.к. АС = А 1 С 1 и АВ = А 1 В 1 , то они при наложении совпадут.

Тогда вершина А 1 совместиться с вершиной А.

Но и тогда и вершины В 1 и В также совместятся.

Следовательно, треугольники равны.

15 см

4,2 см

Задачи по готовым чертежам

В

А

В

37 0

?

?

30 0

С

А

?

А

70 0

С

С

В

D

В

С

?

?

?

120 0

А

В

D

8,4 см

С

А

4 см

Контрольный тест

1. Прямоугольным называется треугольник, у которого

а) все углы прямые ;

б) два угла прямые ;

в) один прямой угол .

Контрольный тест

2. В прямоугольном треугольнике всегда

а) два угла острых и один прямой ;

б) один острый угол, один прямой и один тупой угол ;

в) все углы прямые .

Контрольный тест

3. Стороны прямоугольного треугольника, образующие

прямой угол, называются

а) сторонами треугольника ;

б) катетами треугольника ;

в) гипотенузами треугольника .

Контрольный тест

4. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется

а) стороной треугольника ;

б) катетом треугольника ;

в) гипотенузой треугольника .

Контрольный тест

5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника

равна

а) 180 ° ;

б) 100 ° ;

в) 90 ° .

Папирус Ахмеса

Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть — в Нью - Йорке.

Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, пропорциональное деление, нахождение отношений.

Е В К Л И Д

Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала»

(в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.

Это интересно

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами).

Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

В любом треугольнике: 

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3.  Сумма углов треугольника равна 180 º

4.  Продолжая одну из сторон треугольн ика, получаем внешний угол .

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и

больше их разности ( a b – c;  b a – c;  c a – b ).

Ответ не правильный.

Более внимательно изучи данную тему!

Вы верно ответили

на все вопросы !

Желаю удачи

в изучении математики !

Вернуться к содержанию