Презентация Степенные функции

Степенные функции

Агеева Т. М., учитель математики МБОУ СОШ №3 г.Вязьмы

Урок I. Степенная функция с нечетным натуральным показателем

Это функция f(x) = xⁿ , где n – нечетное натуральное число

f(x) = x

Y

3

2

1

y = x

Строится график функции – Множество точек (x,y) , где y=x

График функции f(x) = x есть биссектриса I и III координатных углов

-3 -2 -1

0 1 2 3

X

-1

-2

-3

Функции f(x) = x определена на всем R , непрерывна и строго возрастает

f(x) = x³

График y = x³ называется кубической параболой

Y

y = x³

Функции f(x) = x³ определена на всем R , непрерывна и строго возрастает

A

3

2

1

y = x

f(-x) = -f(x) для любого x є D(f)

Функции f(x) = x³ нечетная

О

-3 -2 -1

0

0 1 2 3

X

Проведём отрезок AB

-1

-2

-3

Точка О является серединой отрезка АВ

ОА=ОВ

Точка В является зеркальным отражением точки А относительно начала координат

B

Парабола y = x³ симметрична относительно начала координат

Сравниваем графики функций f(x) = x и f(x) = x³

Биссектриса y = x и кубическая парабола y = x³ пересекаются в точках (-1, -1), (0, 0) и (1, 1)

f(x) = xⁿ

y = xⁿ

Y

y = x³

Введём нечетный показатель степени n (5≤ n ≤19) функции f(x) = xⁿ

3

2

1

y = x

Графики y = xⁿ при нечетных натуральных n похожи на график y = x³ и пересекаются в точках (-1, -1), (0, 0) и (1, 1)

-3 -2 -1

Основные свойства функции f(x) = xⁿ (n – нечетное натуральное число) такие же, как у функции f(x) = x³

0

0 1 2 3

X

-1

-2

-3

Урок II . Корень нечетной степени

Это функция , являющаяся обратной для функции f(x) = xⁿ, где n – нечетное натуральное число, n≥3

Y

Рассмотрим функцию f(x) = x³

y = x³

Функция x³ строго монотонна, поэтому имеет обратную функцию

(кубический корень из x)

3

2

1

y = x

График получается симметричным отображением графика y = x³ относительно биссектрисе y = x

-3 -2 -1

0

0 1 2 3

X

График определена на всем R , непрерывна и строго возрастает

-1

-2

-3

График пересекает биссектрису y = x в точках (-1, -1), (0, 0) и (1, 1)

Y

3

2

1

y = x

-3 -2 -1

0

0 1 2 3

X

График , n є N , получается симметричным отображением относительно прямой y = x графика соответствующей прямой y = x 2n+1

-1

-2

-3

Урок III . Степенная функция с четным натуральным показателем

f(x) = x²

График функции f(x) = x² называется параболой

Y

y = x²

Функция f(x) = x² определена на всём R, непрерывна, строго убывает на (-∞; 0] и строго возрастает на [0; +∞)

3

2

1

B

y = x

C

A

f(-x) = f(x) для любого x є D(f)

1

Функция f(x) = x² четная

-3 -2 -1

АС является отрезком, точка В – его середина

1

0 1 2 3

0

-x

X

x

ВА = СВ

-1

-2

-3

Точка С является зеркальным отражением точки А относительно оси OY

Парабола y = x² симметрична относительно оси OY

Сравним графики функций f(x) = x² и f(x) = x

Биссектриса y = x и парабола y = x² пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1)

f(x) = xⁿ с четным натуральным показателем

Y

y = x²

1

y = x

-1

0 1

X

Урок IV . Корень четной степени

Это функция , являющаяся обратной для функции f(x) = xⁿ, где n – четное натуральное число, n≥2

, x ≥ 0

y = x²

Рассмотрим функцию f(x) = x²

Y

Эта функция не монотонна и не имеет обратной функции

1

Рассмотрим сужение x² на промежутке [0; +∞)

Сужение функции f(x) = x² на [0; +∞) строго возрастает и поэтому имеет обратную функцию (квадратный корень из x)

0

0 1

X

График получается симметричным отображением графика y = x², x ≥ 0, относительно прямой y = x

Функция определена на [0; +∞), непрерывна и строго возрастает

График пересекает биссектрису y = x в точках (0, 0) и (1, 1)

, n є N

Y

1

0

0 1

X