Презентация : «Тела вращения»

Тела вращения

Выполнила Кондратьева Наталья,

студентка группы ТПИ20-1

ГАУ КО ПОО КСТ

Тела вращения

Параболоид и гиперболоид

Параболоид

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Параболоид

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

где t и u — действительные числа не равные нулю одновременно.

При этом:

если t и u одного знака, то параболоид называется эллиптическим , частный случай эллиптического параболоида t = u в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения ; Далее, если t и u разного знака, то параболоид называется гиперболическим ; если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром .

Параболоид

Сечения и пересечения

Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси z) плоскостями произвольного положения — параболы.

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости x\ y для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.

В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

ГИПЕРБОЛОИД

В математике гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось

или

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения

Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP — BP | =  const

В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью можно получить кривую любого эксцентриситета (e) от нуля до бесконечности.

Тела вращения

Цилиндр. Конус. Сфера и шар.

Цилиндр

.

Цилиндр - это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Прямоугольник   AOO 1 A 1   вращается вокруг стороны  OO 1 . OO 1  —  ось симметрии  цилиндра и  высота   цилиндра . AA 1  —  образующая   цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра . AO  —  радиус   цилиндра.

Полученная цилиндрическая поверхность называется  боковой поверхностью цилиндра , а круги —  основаниями   цилиндра

Сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра  — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра  OO 1 .

ABB 1 A 1   — прямоугольник . OA = OB = R   — радиусы.

OC   — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения . Дуга   AB   равна центральному углу  AOB . 

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра .

Цилиндр

S бок .=2 πR ⋅ H – площадь боковой поверхности

Sполн.=2πRH+2πR2=2πR⋅(H+R) – площадь полной поверхности V = π ⋅ r ​2​​⋅ h - объём

S = π ⋅ r ​2 ​​ - площадь основания цилиндра

Конус

Конус  — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Треугольник   POA   вращается вокруг стороны   PO .

PO  — ось конуса и высота конуса.

P   — вершина конуса.

PA   — образующая конуса.

Круг с центром  O   — основание конуса.

AO  — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось  PO   конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник .

APB   — осевое сечение конуса . ∡ PAO = ∡ PBO   — углы между образующими и основанием конус

Конус

S бок.= площадь боковой поверхности

Sпол.=Sосн.+Sбок . Площадь полной поверхности

Sосн. площадь основания

V=πRˆ2 H объём конуса

Усечёный конус

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют  усечённым конусом .

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции .

OO 1   — ось конуса и высота конуса.

AA 1  — образующая конуса.

Круги с центрами  O  и   O 1   — основания усечённого конуса.

AO  и  A 1 O 1  — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось  OO 1  конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA 1 B 1 B  — осевое сечение конуса .

Усечёный конус

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса: 

S бок .=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅(PA1+AA1)−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+(πR−πr)⋅PA1. 

Так как  ΔPAO∼ΔPA1O1 , то стороны их пропорциональны: 

PA/PA1=R/r;

l+PA1/PA1=R/r;

r⋅(l+PA1)=R⋅PA1;

rl=R⋅PA1−r⋅PA1;

PA1⋅(R−r)=rl;

PA1=rl/R−r.

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:

S бок .=πRl+π⋅PA1⋅(R−r)=πRl+π⋅rl/R−r⋅(R−r);

S бок .=πRl+πrl=πl⋅(R+r).

.

Шар и сфера

Сферическая поверхность  — это геометрическое место точек (т. е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки , которая называется  центром  сферической поверхности.

На рисунке все точки равноудалены от точки  C , радиус  CA  соединяет центр с точкой на сфере.

AC==R;

ACˆ2=(x−x0)2+(y−y0)ˆ2+(z−z0)ˆ2=Rˆ2;

(x−x0)ˆ2+(y−y0)ˆ2+(z−z0)ˆ2=Rˆ2

.

Шар и сфера

Шар  — это тело, ограниченное сферической поверхностью.

Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

Сечение шара

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).

При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.

Круговое сечение шара делит его на два шаровых  сегмента , а сферу — на две  сегментные поверхности .

Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними  сферическим поясом   (или зоной), называется  шаровой зоной .  

Высота шаровой или сферической зоны

Высота шаровой или сферической зоны  — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента, или сегментной поверхности, определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности, или сферического пояса. OO1 =d  — расстояние между центром шара и плоскостью сечения;

OA=R  — радиус шара;

O1A =r  — радиус окружности сечения.

В вычислениях используется теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике  AOO1 .