Россия, Крым, Белогорск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Сухова Алефтина Владимировна
Учитель математики
957
52 362 
Местоположение
Специализация
Презентация к уроку: "Решение уравнений с параметрами"
Категория:
Математика
08.07.2016 11:20
Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку: "Решение уравнений с параметрами"»
Презентация к уроку: «Решение уравнений с параметрами».
Учитель математики МКОУ «Школа-лицей №2»
Сухова Алефтина Владимировна
Если дано уравнение F(x;a)=0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число , то F(x;a)=0 называют уравнением с параметром а.
Основная трудность, связанная с решением уравнения (и тем более неравенств) с параметром , состоит в том ,что при одних значениях параметра не имеет решений , при других – имеет бесконечное количество, при третьих - оно решается по одним формулам и т.д.
ПРИМЕР 1.
Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2 при всех х.
Обычно корень уравнения b х=с мы находим без труда : х=с: b .Поскольку b отличен от нуля ,то мы можем смело на него делить . В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а-2) . Значение параметра может быть любым, поэтому сначала следует рассмотреть ситуацию, при которой этот коэффициент равен нуля.
1)при 2а=0 получаем 0х=0-2;
0=-2,
из этого следует , что при а=0 уравнение не имеет решений.
2)При а -2=0 ,т.е а=2 , получаем 0х=2-2;
0=0,
из этого следует , что при а=2 уравнение бесконечно много решений.
3)Осталось рассмотреть остальные случаи, т.е а ≠{0;2} . В этом случае коэффициент отличен от нуля ,и поэтому на него можно делить.
Получим х = ( а-2 )/2а(а-2), т.е а=1/2а.
При записывании ответа нужно быть очень внимательным, чтоб не потерять решения.
ОТВЕТ : при а =0-х € ø , при а =2 - х € R , при а € (-∞;0)(2;+∞) х=1/2а.
ПРИМЕР 2.
Решим уравнение (а-1)х²+2(2а+1)+(4а+3)=0
По виду это уравнение- квадратное, но т.к. значение параметра а нам не известно , то коэффициент при х² а-1 может быть равным 0 ,следовательно а=1 ,то уравнение будет уже линейным.
Рассматриваем 2 случая: а=1 и а ≠1.
1)При а=1 ур-е принимает вид: 0∙х² + 2∙3х + 7 = 0, т.е . 6х = -7,х = -7/6.
2)При а ≠1 мы имеем квадратное ур-е
(а-1)х² + 2(2а+1)х + (4а+3)=0
Дискриминант = (2(2а+1))² - 4(4а+3)(а-1)= 4 (5а+4).
1)Если D , то квадратное ур-е не имеет корней
При 4(5а+4) а х € ø
2)Если D =0 ,то ур-е имеет один корень
а=-4/5, то х = - 1/3
0 ,то уравнение имеет 2 корня а -4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1) ± √ (4(5а+4)) )/( 2(а-1) ) Упростив, получаем х1,2 = ( -(2а+1)± √ (5а+4) )/( а-1) Ответ:1)при а=1 , х = -7/6; 2) При а , х € ø ; 3) При а =-4/5, х = - 1/3; 4) При а - 4/5 и а ≠1 , х1,2 = ( -(2а+1 ) ± √ (5а+4) )/( а-1) " width="640"
3)Если D0 ,то уравнение имеет 2 корня
а -4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1) ± √ (4(5а+4)) )/( 2(а-1) )
Упростив, получаем х1,2 = ( -(2а+1)± √ (5а+4) )/( а-1)
Ответ:1)при а=1 , х = -7/6;
2) При а , х € ø ;
3) При а =-4/5, х = - 1/3;
4) При а - 4/5 и а ≠1 , х1,2 = ( -(2а+1 ) ± √ (5а+4) )/( а-1)
0 , и ветвями вниз, если 2а . Поскольку корни уравнения должны быть меньше 3 , то парабола должна располагаться так : " width="640"
ПРИМЕР 3.
При каких а корни ур-е 2ах² - 2х – 3а – 2=0 меньше 3 .
Если а = 0 ,то ур-е принимает вид -2х-2=0 ; х = -1 удовлетворяет условию , он меньше 3 .
Если а ≠ 0 , то заданное ур-е является квадратным . Графиком ф-ии у = 2ах² - 2х – 3а – 2 является парабола с ветвями вверх, если 2а 0 , и ветвями вниз, если 2а . Поскольку корни уравнения должны быть меньше 3 , то парабола должна располагаться так :
0 2)Парабола должна пересекаться или касаться с осью абсцисс , иначе у уравнения я не будет корней . Корни есть , значит дискриминант неотрицателен D =0 3)В точке х=3 имеем ƒ (3)0. Если будет задан ещё и второй конец промежутка, то на том конце тоже надо определять знак. 4)Также обычно анализируют положение точки вершины параболы , но в данном случае это совершенно неважно, т . к . оба корня должны находиться на этом отрезке. Итак, объединяем в систему. 1)2а0 ; а 0 2) D =0 ; D= 24 а² +16а +4; 24 а² +16а +4 = 0 ; дискриминант уравнения 24 а² +16а +4 = 0 меньше 0, следовательно а€ R 3) ƒ (3)0; 15а-80 ; а8/15 ; решение этой системы : а8/15 " width="640"
Дадим аналитическое описание графика:
1)Ветви вверх , следовательно 2а 0
2)Парабола должна пересекаться или касаться с осью абсцисс , иначе у уравнения я не будет корней . Корни есть , значит дискриминант неотрицателен D =0
3)В точке х=3 имеем ƒ (3)0. Если будет задан ещё и второй конец промежутка, то на том конце тоже надо определять знак.
4)Также обычно анализируют положение точки вершины параболы , но в данном случае это совершенно неважно, т . к . оба корня должны находиться на этом отрезке.
Итак, объединяем в систему.
1)2а0 ; а 0
2) D =0 ; D= 24 а² +16а +4; 24 а² +16а +4 = 0 ; дискриминант уравнения 24 а² +16а +4 = 0 меньше 0, следовательно а€ R
3) ƒ (3)0; 15а-80 ; а8/15 ;
решение этой системы : а8/15
=0 ,аналогично а € R 3)ƒ(3) ; а 8/15 Решение системы: а Решение совокупности двух смстем: а или а8/15 Ответ: а € ( -∞; 0); (8/15;+∞) " width="640"
Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему
1)2а ;а ;
2)D=0 ,аналогично а € R
3)ƒ(3) ; а 8/15
Решение системы: а
Решение совокупности двух смстем: а или а8/15
Ответ: а € ( -∞; 0); (8/15;+∞)
![ПРИМЕР 4 . 8 а ( sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение. Преобразуем выражение sin⁶ х + cos⁶ х Т.к sin² х + cos² х=1 , то возведем в куб, из этого следует что 1= sin⁶ х + cos⁶ х+3 sin²cos² х ; отсюда sin⁶ х + cos⁶ х = 1 - 3/4 sin² 2х. Преобразуем cos 4 х cos 4 х = 1 – 2 sin ² 2x Подставляем все в выражение и получаем 8 а(1 - 3/4 sin² 2х ) = (а ² +4) ( 1 – 2 sin ² 2x ) Раскрыв скобки , приведем подобные и получаем sin ² 2x ( 2а ² +8-6а ) = а² + 4 - 8а Т.к 0 sin ² 2x ,то 0 (а² + 4 - 8а)/ ( 2а ² +8-6а ) Я думаю, что решить это двойное неравенство не составит труда, поэтому перехожу к ответу Ответ: а € ( -∞; 4-2√3 ] ; [4+2√3 ;+∞)](https://fhd.multiurok.ru/7/b/6/7b6dfbeaa0cbb8e18d07ac16c6a7224e71342966/img10.jpg)
ПРИМЕР 4 .
8 а ( sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение.
Преобразуем выражение sin⁶ х + cos⁶ х
Т.к sin² х + cos² х=1 , то возведем в куб, из этого следует что 1= sin⁶ х + cos⁶ х+3 sin²cos² х ; отсюда
sin⁶ х + cos⁶ х = 1 - 3/4 sin² 2х.
Преобразуем cos 4 х
cos 4 х = 1 – 2 sin ² 2x
Подставляем все в выражение и получаем
8 а(1 - 3/4 sin² 2х ) = (а ² +4) ( 1 – 2 sin ² 2x )
Раскрыв скобки , приведем подобные и получаем
sin ² 2x ( 2а ² +8-6а ) = а² + 4 - 8а
Т.к 0 sin ² 2x ,то 0 (а² + 4 - 8а)/ ( 2а ² +8-6а )
Я думаю, что решить это двойное неравенство не составит труда, поэтому перехожу к ответу
Ответ: а € ( -∞; 4-2√3 ] ; [4+2√3 ;+∞)
![ПРИМЕР 5. При каком а ур-е 2 sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных корня на промежутке [ 2 π /3; π ] ? Сделаем замену : sin3x = T ; Т € [ -1 ; 1 ] 2t² - (2a+1) t + a = 0 Найдем дискриминант : D=(2a+1) ² -8a ; сократив , получаем 4а² - 4а +1 .Это полный квадрат, следовательно, √ D = 2а -1 T1=(2a+1 -2a +1)/4= 0.5 T2=(2a+1+2a-1)/4= a Сделав обратную замену ,получаем Sin3x =0.5 ; это ур-е имеет 2 решения , следовательно нам нужен ещё один корень. Sin3x =а из этого ур-я нам надо получить одно решение, а это будет при а=-1,0,-1 . Делаем подстановку: При а =1 sin3x =1; х= π /6+2 π /3 , проверяем, входит ли он в промежуток. Входит, значит это значение пойдет в ответ. При а =-1 sin3x =-1; ; х= - π /6+2 π /3, проверяем , не входит . При а=0 sin3x =0; х= π /6 , тоже не входит . Ответ : а=1.](https://fhd.multiurok.ru/7/b/6/7b6dfbeaa0cbb8e18d07ac16c6a7224e71342966/img11.jpg)
ПРИМЕР 5.
При каком а ур-е 2 sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных корня на промежутке [ 2 π /3; π ] ?
Сделаем замену : sin3x = T ; Т € [ -1 ; 1 ]
2t² - (2a+1) t + a = 0
Найдем дискриминант :
D=(2a+1) ² -8a ; сократив , получаем 4а² - 4а +1 .Это полный квадрат, следовательно, √ D = 2а -1
T1=(2a+1 -2a +1)/4= 0.5
T2=(2a+1+2a-1)/4= a
Сделав обратную замену ,получаем
Sin3x =0.5 ; это ур-е имеет 2 решения , следовательно нам нужен ещё один корень.
Sin3x =а из этого ур-я нам надо получить одно решение, а это будет при
а=-1,0,-1 . Делаем подстановку:
При а =1 sin3x =1; х= π /6+2 π /3 , проверяем, входит ли он в промежуток. Входит, значит это значение пойдет в ответ.
При а =-1 sin3x =-1; ; х= - π /6+2 π /3, проверяем , не входит .
При а=0 sin3x =0; х= π /6 , тоже не входит . Ответ : а=1.
![ПРИМЕР 6. При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [ -2 , -1 ) значение выражения х ⁴- 2 х² неравно значению выражения ах ²+ 5 . То есть х ⁴- 2 х² ≠ ах ²+ 5 . Перенесём все в одну сторону и вынесем х ² из второго и третьего слагаемых х ⁴- х²(2+ а) + 5 ≠0 Сделаем замену х ² = t ,но так как на х наложены условия , то на t тоже надо наложить условия: так как заменяем х ² ,то и промежуток надо возвести в квадрат и получаем t € ( 1 ; 4 ] . t ²- t (2+ а ) + 5 ≠0 Найдем дискриминант D= (2+ а )² + 4*5= (2+ а )² + 20 , так как это сумма квадрата и положительного числа , то и сумма будет положительной, а, следовательно , у этого уравнения 2 различных корня. Таким образом, t ²- t (2+ а ) + 5 ≠0 в трех случаях , которые объединены совокупностью . Но сначала введем функцию и найдем область определения , которую мы и будем рассматривать : у = t ²- t (2+ а ) + 5 ; D (y) = R .](https://fhd.multiurok.ru/7/b/6/7b6dfbeaa0cbb8e18d07ac16c6a7224e71342966/img12.jpg)
ПРИМЕР 6.
При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [ -2 , -1 ) значение выражения х ⁴- 2 х² неравно значению выражения ах ²+ 5 .
То есть х ⁴- 2 х² ≠ ах ²+ 5 .
Перенесём все в одну сторону и вынесем х ² из второго и третьего слагаемых х ⁴- х²(2+ а) + 5 ≠0
Сделаем замену х ² = t ,но так как на х наложены условия , то на t тоже надо наложить условия: так как заменяем х ² ,то и промежуток надо возвести в квадрат и получаем t € ( 1 ; 4 ] .
t ²- t (2+ а ) + 5 ≠0
Найдем дискриминант D= (2+ а )² + 4*5= (2+ а )² + 20 , так как это сумма квадрата и положительного числа , то и сумма будет положительной, а, следовательно , у этого уравнения 2 различных корня.
- Таким образом, t ²- t (2+ а ) + 5 ≠0 в трех случаях , которые объединены совокупностью . Но сначала введем функцию и найдем область определения , которую мы и будем рассматривать : у = t ²- t (2+ а ) + 5 ; D (y) = R .
0.75 . Это решение первого уравнения из совокупности , остальные два рассмотрим дальше. " width="640"
Ситуация 1.
Оба корня находятся по разные стороны отрезка , причем первый корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , так как в промежутке единица строго не включена (напоминаю , что задание найти а ,где выражение неравно нулю , поэтому график функции может проходить через единицу ),а через 4 он не может проходить ,так как 4 включена в промежуток.
Ранее я рассматривала примере 3 метод анализа графиков , так же и этот график надо анализировать , но так дискриминант мы анализировали уже , а коэффициент при t² больше нуля ,поэтому t вершинное может находиться только как показано на графике , и поэтому эти положения не нужно исследовать.
Таким образом , нужно анализировать только знаки на конце отрезка:
У(1)≤0 и у(4)
у(1)=1-(2+а)-5=1-2-а-5=-6-а; у(4)=16-4(2+а)-5=16-8-4а-5=3-4а
Получаем систему из двух неравенств:
1)-6-а≤0; а≥-6
2)3-4а0.75
Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а 0.75 . Это решение первого уравнения из совокупности , остальные два рассмотрим дальше.
Ситуация 2.
Оба корня находятся по левую сторону отрезка , причем опять же второй корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , а первый корень должен находиться левее второго . В этом случае нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться левее 1 , иначе если вершина будет больше 1 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 1 и получаем систему опять же из двух уравнений:
У(1)≥0 и t вершинное
у(1) мы уже посчитали - это -6-а , теперь посчитаем t вершинное = - b/2a= (2+a)/2
Получаем систему из двух неравенств:
1)-6-а≥0; а≤-6
2) (2+a)/2 1 ; Переносим 1 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а
Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а ≤-6 . Это решение второго уравнения из совокупности .
0 и t вершинное4; у(4) мы уже посчитали - это 3-4а ,теперь посчитаем t вершинное мы тоже уже подсчитали - это (2+a)/2 . Получаем систему из двух неравенств: 1) 3-4а 0; а 2) (2+a)/2 4; Переносим 4 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а6. У этой системы нет решения ,так как лучи не пересекаются . В ответ пойдёт объединение двух лучей : а 0.75 и а ≤-6 . Ответ : а € (-∞ ; -6 ] ; (0.75 ; +∞). " width="640"
Ситуация 3 .
Оба корня находятся по правую сторону отрезка , причем опять же первый корень не может проходить через 4 . Второй корень должен находиться правее первого . в этом случае так же нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться правее 4 ,иначе если вершина будет меньше 4 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 4 и получаем систему опять же из двух уравнений:
У(4)0 и t вершинное4;
у(4) мы уже посчитали - это 3-4а ,теперь посчитаем t вершинное мы тоже уже подсчитали - это (2+a)/2 .
Получаем систему из двух неравенств:
1) 3-4а 0; а
2) (2+a)/2 4; Переносим 4 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а6.
У этой системы нет решения ,так как лучи не пересекаются . В ответ пойдёт объединение двух лучей : а 0.75 и а ≤-6 .
Ответ : а € (-∞ ; -6 ] ; (0.75 ; +∞).
© 2016, Сухова Алефтина Владимировна 646 16
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
