Применение признаков равенства треугольников при решении задач

Цель

 Усвоение знаний в системе. Обобщение единичных знаний в систему.

Задачи

• Образовательные: выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме; научить в процессе реальной проблемной ситуации использовать определение равных треугольников, признаки равенства треугольников, продолжить формирование умений применять признаки равенства треугольников для решения задач, распознавать равные треугольники, доказывать их равенство, делать вывод о равенстве некоторых их элементов;

• Развивающие: совершенствовать умение обрабатывать информацию, развивать умение выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, развивать умения анализировать, сравнивать и обобщать, формировать логическое мышление; способствовать развитию познавательной активности; прививать интерес к геометрии.

• Воспитательные: умение слушать и вступать в диалог, воспитывать ответственность и аккуратность.

УУД

• Личностные УУД: умение выделять нравственный аспект поведения; уважать и принимать чужое мнение; формировать адекватную самооценку и чувство собственного достоинства.

• Регулятивные УУД: умение выделять необходимую информацию для решения базовых задач и задач в измененной ситуации.

• Коммуникативные УУД: умение слушать и вступать в диалог, умение выражать свои мысли.

• Познавательные УУД: формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления; овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его; развитие пространственных представлений; развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера.

Планируемые
результаты

• Предметные: Знать понятия равных треугольников, равнобедренного треугольника, свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства треугольников. Уметь применить признаки равенства треугольников при решении задач.

• Личностные: умение слушать и вступать в диалог, учиться уважать и принимать чужое мнение и поднимать самооценку.

• Метапредметные: применять полученные знания при решении проблемных ситуаций, связанных с признаками равенства треугольников.

Основные понятия

 Треугольники, виды треугольников, равные треугольники, высота, медиана, биссектриса.

I этап. Организационные момент

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Проверить готовность к уроку

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

А знаете ли вы о следующей истории? Было это много-много лет назад. Около гавани далеко в море стоял корабль. И необходимо было измерить расстояние до него от берега. А как это сделать никто не знал. Эту задачу сумел решить Фалес Милетский (древнегреческий философ и математик из Милета). И сегодня на уроке мы с вами узнаем, как ему удалось это сделать.

Обучающиеся готовы к началу работы, имеют представление о форме проведения устных упражнений и работе с карточками

II этап. Актуализация знаний учащихся

Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме

а) Проверка домашнего задания

б) Блиц-опрос

в) Устная работа – решение задач по готовым чертежам:

1. Рис. 1. Дано: КМ = DT, KT = DM. Доказать: ТКМ = MDT.

2. Рис. 2. Дано: АО = 4 см, ВС = 5 см, CD = 4,5 см. Найти: Р_АВО.

3. Рис. 3. Дано: EDC = KDС, DE = DK, ECD = 30°. Найти: ECK.

а) Один из учащихся выходит к доске, готовит чертеж к домашней задаче.

б) Блиц- опрос: учащиеся формулируют признаки равенства треугольников.

в) решение задач по готовым чертежам.

Проверяют решение домашней задачи.

III этап. Решение задач

Совершенствовать навыки решения задач. Применять признаки равенства треугольников при решении задач с практическим содержанием

1. Населенные пункты А, В, С, D расположены так, что пункт А находится в нескольких километрах к югу от D, а пункты В и С – на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от пункта А. Верно ли, что В и С находятся на одинаковом расстоянии от D?

2. Три поселка В, С и D расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок D - в 4 км к востоку от В. Три других поселка А, К и М расположены так, что поселок К находится в 4 км к северу от М, а поселок А - в 7 км к юго-востоку от М. Сделайте чертеж и докажите, что расстояние между пунктами С и D такое же, как между пунктами К и А

3. Задача Фалеса: А знаете ли вы о следующей истории? Было это много-много лет назад. Около гавани далеко в море стоял корабль. И необходимо было измерить расстояние до него от берега. А как это сделать никто не знал. Эту задачу сумел решить Фалес Милетский (древнегреческий философ и математик из Милета). Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Ребята, а кто из вас может объяснить на чем основывается доказательство?

4. Старожилы рассказывают, что чтобы измерить длину озера (расстояние АВ на рисунке) на местности провели прямою ВD, на ней выбрали точку C, из которой точка А видна под прямым углом, и отложили отрезок СD, равный отрезку ВC. Какое расстояние на местности надо измерить, чтобы узнать длину озера? Почему?

Задача 1.

Дано: АВ = CD, CAD = BAD.

Доказать: BD = CD.

Доказательство: Рассмотрим BAD и CAD. BА = CA, CAD = BAD – по условию. АD – общая сторона, зн. BAD = CAD (по 3 признаку). BD = CD.

Задача 2.

Дано: ВС = 7 км, ВD = 4 км, KM = 4 км, АМ = 7 км.

Доказать: СD = АК.

Доказательство: Рассмотрим CBD и AMK: BD = MK = 4 км, CB = AM = 7 км – по условию, CBD = AMK = 135^о CBD = AMK. Значит СD = AK.

Задача Фалеса: Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С =A; EDС = BDA как вертикальные).

Задача 4. ACD = ACB – по третьему признаку (AC – общая, CD = CB, ACB = ACD = 90^o) AB = AD. Т.о. измерить надо расстояние AD.

IV этап. Математический диктант

Проверить уровень сформированности теоретических знаний

Вариант 1.

1. Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника? (нет) ДА НЕТ

2. Верно ли, что каждой стороне первого треугольника можно найти сторону равную ему во втором, равном треугольнике? (да) ДА НЕТ

3. Верно ли, что сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольнике равны? (нет)

ДА НЕТ

1. Верно ли, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны? (да) ДА НЕТ

2. Верно ли, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны? ДА НЕТ

Вариант 2.

1. Верно ли, что если треугольники равны, то каждая сторона первого треугольника равна каждой стороне второго треугольника? (нет) ДА НЕТ

2. Верно ли, что каждому углу первого треугольника можно найти угол, равный ему во втором, равном треугольнике? (да) ДА НЕТ

3. Верно ли, что если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны? (нет) ДА НЕТ

4. Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны? (нет)

ДА НЕТ

1. Верно ли, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны? (да) ДА НЕТ

Учащиеся в тетрадях отвечают на вопросы письменно. Затем обмениваются тетрадями и проверяют ответы друг друга.

V Подведение итогов урока. Рефлексия

Наш урок подходит к концу. Самое время подвести итоги урока.

Какие знания и умения закрепили на уроке?

Что нового узнали на уроке?

Чему научились на уроке?

Интересен ли был урок?

Записывают домашнее задание: повторить материал п. 15-20, № 169

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

I. Организационный этап. Мотивация.

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

А знаете ли вы о следующей истории? Было это много-много лет назад. Около гавани далеко в море стоял корабль. И необходимо было измерить расстояние до него от берега. А как это сделать никто не знал. Возможно, вы можете предложить свои варианты. Эту задачу сумел решить Фалес Милетский (древнегреческий философ и математик из Милета). Хотите знать, как это ему удалось? Я уверена, что вы сами найдете ответ на этот вопрос в конце урока.

На столах у вас лежат карточки с заданиями. Вы будете работать с этими задачами на уроке.

Сегодня у нас заключительный урок по теме: «Признаки равенства треугольников». Как вы думаете, на какие вопросы вы должны знать ответ, изучая данный материал?

Вам предстоит решать различные задачи: базовые задачи, задачи с практическим содержанием. Вы познакомитесь с некоторыми задачами, которые могут встретиться на итоговой аттестации в 9 классе (ОГЭ).

Обучающиеся готовы к началу работы, имеют представление о форме проведения устных упражнений и работе с карточками.

Обучающиеся заинтересованы и хотят найти ответ (предлагают свои гипотезы)

Обучающиеся ставят проблемные вопросы и отвечают на них.
Например:

1. Что называется треугольником?

2. Сколько элементов содержит треугольник?

3. Какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника?

4. Какие виды треугольников бывают? (по углам и сторонам)

5. Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник?

6. Какие треугольники называются равными?

7.Признаки равенства треугольников.

II Актуализация знаний.

Что является важным при решении задач?

а) Проведем блиц-опрос (работа в половинках для устных упражнений) (Приложение 1)
Инструкция: если вы согласны с утверждением, то ставите «+», если не согласны, то ставите « - ».

б) Устная работа по готовым чертежам (Приложение 2).

Знание определений и теорем.

Обучающиеся знакомы с такой формой работы. Отвечают на вопросы, которые появляются на слайде.

Взаимопроверка (сверяют с ответами на слайде)
Сдают работы.
Формулируют определение равных треугольников, признаки равенства треугольников, определение и свойства равнобедренного треугольника. Следят за грамотностью речи.

III Обобщение и систематизация знаний (базовые задачи). Воспроизведение на новом уровне.

Работа в статических парах.

Задача 1.

Отрезки АD и ВC пересекаются в точке М и АМ= DМ, ВМ= СМ.

1) Какие отрезки надо провести, чтобы получились равные треугольники? (запишите треугольники и укажите признак равенства треугольников)

2) Докажите равенство треугольников.

Задача 2.

Дано: ∆ АВС – равнобедренный,

СН – высота.
а) можно ли доказать, что ∆ АНС = ∆ ВНС?

б) если можно, то укажите признак.

Работа в группах.

1 группа. Дано: АВ = ВС, АD = ЕС. Докажите, что ∆ ВDЕ – равнобедренный.

2 группа. Дано: АВ = АС, ˂ АСЕ = ˂ АВD. Доказать, что ∆ АСЕ = ∆ АВD.

Чертеж не копируют, только решения пишут в тетрадь.

Совместное обсуждение решения задач, взаимопомощь, демонстрируют умение договариваться. Выдвигают гипотезы, доказывают или опровергают предположение. Рассматривают разные пары равных треугольников.

Обсуждение решения задачи.

Чертеж не копируют, только решения пишут в тетрадь.

Совместное обсуждение решения задач, взаимопомощь, демонстрируют умение договариваться. Предлагают различные варианты решения задачи.

Поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний. Анализ объектов.

Обсуждение решения задачи.

Обучающиеся делятся на группы, демонстрируя умение интегрироваться в группу, слушать и вступать в диалог. Решают поставленную задачу в своей группе. Целеполагание, выдвижение гипотез. Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция.

Обсуждение решения задач.

Физкультминутка (Приложение 3).

Ребята выполняют упражнения, демонстрируют управление поведением.

IV Применение знаний и умений в новой ситуации.

Самостоятельная работа по вариантам.

Учащимся, имеющим проблемы с учебным материалом, испытывающим сложности при решении задач, пропустившим по болезни уроки, предлагается тест, который они могут выполнить, используя учебник.

1 вариант.

Дано: АК = КВ = ВМ = МС, АD = DC.Докажите, что: 1) ∆ ADK = ∆ CDM; 2) ∆ BKD = ∆ BMD.

2 вариант.

Дано: 1=2, 3=4
Докажите, что:1) ∆ ADO = ∆ ABO;
2)  ОBC=  ОDC

Обучающиеся самостоятельно выполняют задания в тетрадях.

Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. Анализ и синтез объектов. Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата.

V. Задача Фалеса.

Возвращаемся к задаче Фалеса.

Так как же Фалес Милетский предложил измерять расстояние до корабля, находящегося в море?

Он изобрел прибор дальномер. Какому признаку равенства треугольников Фалес нашёл важное практическое приложение?

Знакомятся со способом решения задачи с использованием прибора дальномера. Делают вывод о практическом приложение второго признака равенства треугольников.

VI Рефлексия

Проводим рефлексию «Незаконченное предложение»

(Приложение 4).

Пишут в тетрадях (используют имеющиеся в дневниках карточки с незаконченными предложениями). Несколько человек зачитывают свои предложения.

VII Этап оценивания знаний учащихся и подведение итогов урока

Наш урок подходит к концу. В течение урока мы хорошо работали. Перед нами была задача: формирование умений применять признаки равенства треугольников для решения задач, распознавать равные треугольники, доказывать их равенство, делать вывод о равенстве некоторых их элементов.
Как вы думаете, мы справились с этой задачей?

Обучающиеся самостоятельно учатся оценивать, продуктивно прошел урок или нет.

VIII Информирования учащихся о домашнем задании

Домашнее задание: п.14-20, вопросы 1-15 на стр. 48;

Дифференцированное задание :
на «3» решить № 132
на «4» Задача с практическим содержанием на измерение длины озера по готовому чертежу (Приложение 5).
на «5» Задача с практическим содержанием, чертеж к которой надо построить самим (Приложение 5).

Творческое задание: 1) индивидуально или в группах подготовить сообщения об известных треугольниках (например, о египетском треугольнике, Бермудском треугольнике, о спидронах и др.); 2) придумать паркеты из треугольников.

Спасибо за работу на уроке!

Ребята внимательно слушают и записывают задания. Обучающимся нужно оценить степень своего усвоения темы и умение адекватно выбрать задание по силам.

Выполняя творческое задание (по выбору), ребята узнают немало полезной информации и наглядно видят практическое применение признаков равенства треугольников.