Призма и ее свойства

Тема : “ Призма и ее свойства ”

Автор: Чесноков Михаил

Рук: Кузнецова Е.В.

2013 г .

Содержание

• Историческая справка
• Призма и ее свойства
• Решение задач
• Задачи для самостоятельной работы
• Литература

Еще в древности существовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела , линию – как границу поверхности , концы же линии – как точки .

Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия , аналогично из линий составляется поверхность и т. д.

Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности.

В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

Евклид употребляет термин « плоскость » как в широком смысле (Рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина « прямая » ( в широком смысле - бесконечная прямая и в узком – отрезок).

В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное”

Призма

• Призма – это тело, ограниченное многогранной поверхностью, две грани которой n – угольники, а остальные n – параллелограммы.

Рассмотрим два равных многоугольника

и , расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки , , ..., , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

...

А

А

А

1

2

n

...

B

B

B

1

2

n





А

B

А

В

В

А

n

n

1

2

2

1

1

.

рис

Каждый из n четырехугольников

является параллелограммов, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике стороны и параллельны по условию, а стороны и - по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей

плоскостью (рис. 2).

В

,

,...,

А

В

В

А

А

А

В

А

А

В

В

n

1

2

2

1

2

3

3

2

1

1

n

В

А

А

В

2

1

1

2

В

А

А

В

2

2

1

1

В

В

А

А

1

2

1

2

)

2

.

(

рис

Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями. Отрезки , называются боковыми ребрами призмы.

Призму с основаниями и

n - угольной призмой.

А

...

А

А

B

B

B

...

2

1

n

2

1

n

А

А

В

,...,

В

B

А

1

1

2

2

n

n

B

B

B

...

А

...

А

А

1

2

n

2

1

n

( рис. 3)

Призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 4 изображена правильная шестиугольная призма.

( рис. 4 )

Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, 

четырехугольные, пятиугольные и т.д.,

в зависимости от числа вершин основания.

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников. Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм ( ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности) ( ) и площадей двух оснований ( 2 S осн ) - равных многоугольников:

S

пр

S

бок





S

S

S

2

бок

пр

осн

Площадь поверхности призмы

• Теорема. Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания, сложенной с произведением длины бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения этой призмы.

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны призмы, а высоты равны высоте h призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме произведений сторон основания на высоту h . Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р.

Итак, S бок=Р h .

Теорема доказана.

Задача на нахождение S полн призмы.

• Вычислить площадь полной поверхности, если высота равна 12см, сторон основания равна 7см.
• Дано: ABCA 1 B 1 C 1 - правильная треугольная призма; высота; Н=12см;
• АС=7см
• Найти: S полн.

Решение:



S

Р

Н

бок

осн





2

S

S

S

бок

полн

осн

14

3



2

3





,

95

5

S



S

4

2

м

c

(

)

осн

4

2









S

11,9

168

179,9(см

)

2

см

S

168

(

)

полн

бок

Ответ:

2







S

)

179,9(см

168

11,9

полн

Дано: - правильная призма, =8 см, =6 см

Найти:

Решение: 1) Т.к. призма правильная, то

2)

Отсюда:

C

B

ABCA

1

1

1

АА

АВ

1



S

?

B

C

A

1

1



C

B

C

A

1

1











2

2

см

FC

A

10

64

36

C

AA

1

1

1





S

A

CK

B

A

1

1

C

B

2

1

1

( рис. 5)













2

21

см

CK

A

A

K

84

2

C

16

100

1

1

1







2

21

2

8

c

S

м

C

B

A

2

1

1



Дано:

- правильный

Доказать: а) б)

• прямоугольник

Доказательство:

1) Т.к. , то АН -

биссектриса

- равносторонний, значит по свойству биссектрисы и , значит

ABCA

B

C

призма

1

1

1



ABC



AA

BC

CC

BB

1

1

1







A

AB

AC

A

1

1



САВ



АВС



АН

ВС



пр

АН

АА



АН

ВС

АВС

(

)

1



АА

СВ

1

( рис. 6)

(определение призмы)

и

значит - прямоугольник

СС

ВВ

||

||

АА

1

1

1









АА

СС

В

C

СВ

ВВ

СВ

,

1

1

1

1

СС

ВВ

1

1

Докажите, что:

• Докажите, что:

а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники;

б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Сторона правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдете площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

• Сторона правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдете площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Основаниями прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двухгранные углы при боковых ребрах призмы.

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30 ` . Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

• Дадаян А. А. Математика: Учебник - М.: ИНФРА - М, 2006
• Геометрия 10 - 11; Учеб. Для общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Тихонова - М.: Просвещение, 2001

• Internet ресурсы:
• www.5ballov.ru
• www.4students.ru