Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема 1 (по двум катетам).

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – прямоуг.

АС =А₁С₁

СВ = С₁В₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. АС =А₁С₁

2. СВ = С₁В₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по I признаку)

3. ∠С = ∠С₁ = 90⁰

Теорема 2 (по катету и прилежащему острому углу).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – прямоуг.

АС =А₁С₁

∠А = ∠А₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. АС =А₁С₁

2. ∠А = ∠А₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по II признаку)

3. ∠С = ∠С₁ = 90⁰

Теорема 3 (по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – прямоуг.

АВ =А₁В₁

∠А = ∠А₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. ∆АВС – прямоуг. ⟹ ∠А + ∠В = 90° ⟹ ∠В = 90° – ∠А

∆А₁В₁С₁ – прямоуг.⟹∠А₁ + ∠В₁ = 90°⟹∠В₁ = 90° – ∠А₁ ⟹∠В = ∠В ₁

∠А = ∠А₁

1. АВ =А₁ В₁

∠А = ∠А₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по II признаку)

∠В = ∠В₁

Теорема 4 (по гипотенузе и катету).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – прямоуг.

АВ =А₁В₁

АС = А₁С₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. Совместим ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ как на рисунке.

2. АВ =А₁В₁ ⟹∆ВАВ₁ – равнобедр.

∠С = ∠С₁ = 90⁰ ⟹ АС – высота и медиана ⟹В₁С₁ = ВС

1. АС = А₁С₁

В₁С₁ = ВС ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по двум катетам)