Проект "Фигуры вращения"

ПРОЕКТ

по геометрии "Фигуры вращения"

1. Авторы проекта – учащиеся 11 А класса, руководитель проекта – учитель математики Похно Л.М.

2. Предмет – геометрия, 11 класс.

3.Сроки реализации 29.09.14г.-20.10.14г.

4. Краткая аннотация проекта.

Настоящий проект направлен на поиск новых идей в преподавании геометрии по теме «Объемы и поверхности тел» и обобщение материала по теме «Фигуры вращения» в курсе геометрии 11 класса средней общеобразовательной школы.

Проект является личностно ориентированным, так как предполагает возможность участия в нем различного контингента учащихся. В ходе реализации проекта учащиеся не только знакомятся с основным материалом учебной темы, но и получают дополнительные знания по моделированию многогранников и тел вращения, учатся находить и использовать на практике межпредметные связи, знания различных наук.

4. План проекта.

Организационно-подготовительный:

- формирование групп учащихся;

- составление плана работы;

- формулирование вопросов для исследований;

- подбор информационных ресурсов для проекта;

- создание печатных дидактических материалов.

Обучающий:

- введение в проблематику проекта с помощью вводной лекции учителя;

- выявление предварительных знаний учеников по теме проекта, выяснение тем исследований, интересных учащимся;

- формулирование проблемных и частных вопросов проекта, темы исследования. Определение групп по интересам;

- планирование исследований (цели, задачи, гипотеза, методы);

- обсуждение с учениками возможных источников информации;

- определение этапов работы над проектом.

Исследовательский. Исследования, проводимые в рамках проекта:

Первая группа исследует вопрос «Фигура вращения – цилиндр».

Вторая группа исследует вопрос «Фигура вращения – конус».

Третья группа исследует вопрос «Фигуры вращения – сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоид».

Четвертая группа исследует вопрос «Практическое применение фигур вращения в жизни».

Самостоятельная работа учащихся по группам – в течение недели: проведение исследований, сбор информации, самостоятельный поиск информации в Интернете. Сохранение результатов в формате Word.

Корректировка плана работы групп. Работа с печатными материалами. Изучение методических материалов, предлагаемых к проекту. Составление плана презентаций. Оформление результатов исследований с помощью выбранного инструмента – презентаций, публикаций.

Итоговый. Презентация результатов, защита проекта.

Введение

В нашем современном мире, полном различной, иногда даже ненужной информации, очень важно понимать, что действительно ценно. Одной из таких вещей является геометрия. Её ценность понимали еще в Древнем мире: древние египтяне относились с большим почтением к геометрии, так как по её законам двигаются все тела на нашей планете, в нашей вселенной. Геометрические тела разных форм, разных размеров встречаются в нашем мире повсеместно, поэтому очень важно знать их свойства. Поэтому мы выбрали эту тему. Мы считаем, что именно эта тема актуальна в наше время. В нашем проекте мы постараемся дать подробную характеристику телам вращения, так как они имеют большую ценность в окружающем нас пространстве.

Цели проекта:

- вовлечение каждого участника в активный познавательный процесс;

- расширение и углубление знаний по изучаемой теме;

- воспитание коммуникативных навыков, навыков сотрудничества;

- научить строить фигуры вращения.

Задачи:

- формирование навыков исследовательской работы;

- развитие творческих способностей;

- развитие интереса к предмету, умений обобщать и систематизировать материал;

- применять теоретические знания при решении задач на построение фигур вращения, по вычислению площадей поверхностей, объемов и комбинации геометрических тел;

- выявить профессиональные умения, необходимые для получения высшего образования по техническому профилю.

Содержание работы

Параболоид вращения

Архимед (лат. Archimedes, греч. Архимидис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия - 212 до н.э., там же) - древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Он впервые упоминает о параболоиде в своем трактате "О коноидах и сфероидах".

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Эллиптический параболоид, у которого , называется параболоидом вращения.

Если вращать параболу y=ах² вокруг ее оси то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида. На этом свойстве устроены параболические телескопы, параболические антенны, прожектора, проекторы.

Если же источник света поместить в фокус параболоида, то лучи, идущие от источника света, будут концентрироваться в световой пучок, идущий параллельно оси параболоида. Этот факт находит применение при создании прожекторов, фонарей, проекторов, где зеркало имеет форму параболоида.

Цилиндр

Цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

«Цилиндр» - греческое слово «kylindros», что означает «валик», «каток».

Основные элементы цилиндра:

• прямой круговой цилиндр - это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон;

• сторона прямоугольника, вокруг которой производилось вращение, называется осью цилиндра;

• радиус основания является радиусом цилиндра;

• расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой;

• любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Наклонный цилиндр – цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Свойства цилиндра:

• основания цилиндра равны, так как параллельный перенос есть движение;

• основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость;

• образующие цилиндра параллельны и равны, так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.

Сечения цилиндра:

• секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндра. Такое сечение называется осевым;

• секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра. Сечением является круг;

• секущая плоскость параллельна оси цилиндра. Сечением является прямоугольник;

• секущая плоскость наклонена к плоскости основания. Сечением является эллипс.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Эллипс

Если плоскость сечения цилиндра составляет некоторый угол с плоскостью основания и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

Фокальное свойство эллипса. Внутри эллипса существуют такие точки F1 и F2, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением. Эллипс - ортогональная проекция окружности на плоскость.

• проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса;

• отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса;

• точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

Для того чтобы построить эллипс потребуются нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам . Карандашом натянем нить так, чтобы острие карандаша касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс.

Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид враще́ния  - это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Конус

Конус – тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР перпендикулярную к плоскости ß этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, прямая ОР – осью конической поверхности. Круг называется основанием конуса. Вершина конической поверхности – вершиной конуса. Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, называются боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Например, данный конус был получен вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ.

Осевое сечение. Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса.

• Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса.

• Радиус r΄ этого круга равен РО΄/РО • r , где r – радиус основания конуса .

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую S=πrl.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула S=πr(l+r).

Усечённый конус

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу.

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е. S=π(r+r΄)l, где r и r΄-радиусы оснований, l - образующая усечённого конуса.

Практическое применение фигур вращения

• в природе

• в архитектуре

• в повседневной жизни

• в научной деятельности

Кроссворд

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3.Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

ОТВЕТЫ:

По горизонтали: 1.Круг 2.Образующая 3.Цилиндр 4.Прямой 5.Тор

По вертикали: 1.Конус 2.Трапеция 3.Купол 4.Диаметр 5.Шар 6.Сфера 7.Юла

Над проектом работали

• Скибин Максим

• Ермакова Анна

• Альшанова Кристина

• Ковтун Олеся

• Сенная Наталья

• Каширина Регина

• Бабаченко Виктория

• Витязева Елизавета

Руководитель: Похно Людмила Михайловна.

Заключение

Значение изучения свойств тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с подготовкой школьников к практической жизни, к труду. Форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов. При обработке металла или дерева на токарном станке в промышленности очень быстро и с высокой степенью точности изготавливают детали, имеющие форму цилиндра, конуса или шара. Телами вращения являются и изделия гончарного производства.

Теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Изучение данной темы методом проекта потребовало от учеников больше времени на самостоятельную работу, работу за компьютером. В ходе реализации проекта учащиеся не только познакомились с основным материалом учебной темы, но и получили дополнительные знания по моделированию многогранников и тел вращения, научились находить и использовать на практике межпредметные связи, знания различных наук. Конечным продуктом проекта является контрольная работа и презентация проекта.

Источники информации

• Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 класс. М., 2012.

• http://wikipedia.org

• http://www.terver.ru/cilindrsvojstva.php

• http://knowledge.allbest.ru

• http://yandex.ru/images/

• http://igspl.na.by/eso/tv/articles/?19

• http://www.myshared.ru/slide/277443/

• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4

• http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01

• htmfile:///C:/Users/Win/Deskt

• http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01.htmfile:///C:/Users/Win/Deskt

9