Проект "Математические задачи в художественных произведениях"

МКОУ Елмановская ОШ

Исследовательский проект

Выполнили:

обучающиеся 8 класса: Ануфриева Настя, Колмыкова Мария, Васильев Николай.

Обучающиеся 5 класса: Гульева Лиза, Ануфриев Алексей

Руководители:

учитель русского языка и литературы Сафонова О.В.

учитель математики КовалеваТ.А.

Оглавление

Введение………………………………………………………………………3-6

Исследовательская часть……………………………………………………7-14

1. «Сказка о царе Салтане» и тридцать три богатыря……………….......7-9

2. «Ученый кот Пушкина»…………………………………………………...10-12

3.Задача о «гордом холме»……………………………………………......13-14

Заключение…………………………………………………………………..15

Список литературы …………………………………………………….......16

Приложение…………………………………………………………………17-19

Введение

Гуманитарные науки... только то­гда будут удовлетворять человече­скую мысль, когда в движении своём они встретятся с точными науками и пойдут с ними рядом...

А. П. Чехов

Хорошие книги можно читать по-разному: « залпом», едва поспевая за увлекательно разворачивающимся сюжетом, или медленно, наслаждаясь красотой авторского слога. А еще можно читать глазами математика, замечая и анализируя забавные ситуации. И это не только увлекательное, но и поучительное занятие.

Нередко встречаешься с употреблением математических данных и числительных в художественных текстах. Какова же роль числительных в тексте? А данные используются с достоверной точностью или просто так «к слову»? На эти вопросы мы попытаемся ответить, проанализировав некоторые отрывки литературных произведений.

При исследовании будут использованы следующие методы: поиск, изучение, анализ, обобщение.

Читая художественные произведения, мы нередко можем встретить в них придуманные автором математические задачи. Проблема заключается в том, что не все читатели при прочтении обращают внимание на затейливые авторские головоломки, да и сам автор не всегда осознанно, зачастую между делом, ставит их в своих романах, повестях, рассказах.

Чтобы более подробно прояснить ситуацию среди читателей, в целях исследования решено было провести интервьюирование, респондентами которого явились ученики 3-8 классов и учителя.

В анкетировании принимало участие 15 человек, каждый из которых регулярно читает художественные произведения. По результатам проведенного исследования, 67% опрошенных встречают в прочитанном задачи, головоломки, шарады математического характера. Также было установлено, что только один из тех, кто находит в рассказах, повестях, романах задачи, пытается решить их. Но в целом, опрошенные считают использование математических задач при написании своих произведений уместным приемом.

Человек воспринимает, позна­ёт и воссоздаёт мир двумя противоположными способами — рас­судочным и образным, рациональным и эмоциональным, «мыс­лью и сердцем». Это приводит к условному делению большинства людей на «физиков» и «лириков». Таким образом, сама природа, давая человеку призвание, заботится о том, чтобы развитие культуры было обеспечено приходом как ученых, так и художников. Нау­ку и искусство можно назвать двумя крыльями культуры, они — дополняющие друг друга противоположности, две грани одного и того же процесса - творчества.

Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся во всех искусствах.

Школьник, которому приходится видеть мате­матику только в учебнике, неожиданно встречаясь с математи­ческими вкраплениями в произведениях великих русских художников слова - Пушкина, Лермонтова, Чехова, воспримет их литературные творения с особым интересом. И, скорее всего, покоренный этой красотой, увидит математику так, как видим её мы – авторы этой работы.

Математические задачи ставят перед читателями авторы некоторых романов, повестей, рассказов, как правило, между делом, зачастую сами не обращая на это внимания. А сами авторы часто рассматривают математическую задачу как деталь, фон, эпизод своего повествования.

Представляем вашему вниманию наш первый литературный опыт, связанный с математикой, и, перефразируя слова известного сказочного персонажа, можно сказать: «Мы не поэты, мы только учимся, но математика позволяет делать настоящие чудеса».

Литература с математикой с давнишних пор

Ведут между собой древнейший спор.

«Я - Математика! Я - Королева средь наук.

И без меня все, как без рук.

Не смогут вычесть и сложить,

И даже точно день прожить.

Моих фигур прелестный ряд

Везде, куда не кинешь взгляд.

Я Человечеству служу,

Я ум в порядок привожу».

Литература ей в ответ:

«Да, ты прекрасна спору нет.

Но всех важнее я на свете.

Нужна и взрослым я и детям,

И интересней нет меня наук.

Я для людей - духовный друг!

Я тоже Человечеству служу

И в людях чувства добрые бужу».

Так множество веков тянулись разногласья

О том, что между разумом и чувством нет согласья.

Друзья! Решили мы окончить этот спор:

И о пересеченье этих плоскостей ведем наш разговор.

А на прямой, образовавшейся от их пересеченья

Остались чувства умные и добрый ум.

И если добрый ум в науке будет балом править.

То чувства умные несовершенный мир исправят.

Как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами «настоящие сти­хи - это математика слова».

Литература и математика - что может объединять эти дале­кие друг от друга области знаний? Литературу, с ее интересом к духовному миру человека, поисками нравственных ценностей, смысла жизни, и математику, предпочитающую строгий науч­ный подход и абстрактную форму интуиции. Литература ищет гармонию между человеческой душой и природой. Математика же создала адекватные методы математического описания за­конов природы. Это замечательное свойство делает математику универсальным инструментом для всех естественных наук.

Гипотеза: перефразируя знаменитые слова Софьи Васильевны Ковалевской, что каждый математик должен быть немного поэтом в душе, в своей работе мы попытаемся показать, что в некоторых литературных произведениях присутствует математическая логика, строгие научные рассуждения, но встречаются и математически неправильно решенные жизненные задачи.

Актуальность выбранной темы - увидеть за словом число, за сюжетом - формулу и доказать, что художественная литература существует не только для литераторов, как и математика не только для математиков.

Цель исследования - поиск математических задач в художественной литературе. По возможности их решение и объяснение.

Объект исследования: произведения русской классической художественной литературы.

Задачи исследования:

1. вызвать интерес к изучению предмета «математика» у учащихся, имеющих гуманитарный склад ума;

2. изучение научно-популярной, занимательной русской литера­туры;

3. подбор художественной литературы для исследования;

4. решение задач и оценка полученных результатов;

Методы исследования: анализ научно-популярной и художественной литературы, анализ и решение, сравнение результа­тов с реальной действительностью.

Жизнь человека и общества постоянно требует сложных ре­шений, выходящих за рамки любой профессии, любого специа­лизированного образа мысли.

Наша исследовательская работа лишний раз подтверждает знаменитую истину, что математика не признаёт упрощенного подхода, основанного на фантазии и неправдоподобности, и является «царицей всех наук»[2].

В своём исследовании мы хотим подтвердить наше предположение о том, что многие поэты и писатели всё-таки являются математиками в душе и многим математикам свойственны поэтические таланты.

Исследовательская часть

1. «Сказка о царе Салтане» и тридцать три богатыря.

На уроке литературы в 5 классе учитель задал ученикам необыч­ный вопрос: докажите, что сказка о царе Салтане именно сказка, а не быль. Сама постановка задачи вызвала недоумение: никогда прежде на уроках литературы они ничего не доказывали! Да, рассужда­ли, спорили, учились аргументировано отстаивать свое мнение, но доказывать... на уроках литературы... Нет, такого не было. Это же не математика!

А дальше было вот что. Допустим, ска­зал учитель, сказка о царе Салта­не — это быль, и всякое высказывание в ней истинно. Рассмотрим, как корабель­щики рассказывают царю Салтану про чудо - явления тридцати трех богатырей:

Каждый день идет там диво:

Море вздуется бурливо,

Закипит, подымет вой,

Хлынет на берег пустой,

Расплеснется в скором беге —

И останутся на бреге

Тридцать три богатыря,

В чешуе златой горя,

Все красавцы молодые,

Великаны удалые,

Все равны, как на подбор;

Старый дядька Черномор

С ними из моря выходит

И попарно их выводит,

Чтобы остров тот хранить

И дозором обходить.

... Итак, на берег из моря выходят 33 мо­лодых богатыря и старый дядька Черно­мор, который выводит их парами, то есть по двое. Но 33 на 2 не делится, следова­тельно, поэтическое описание оказывает­ся ложным, невозможным с точки зрения арифметики. Отсюда следует, что произ­ведение Александра Сергеевича Пушки­на действительно является сказкой, что и требовалось доказать.

Неужели поэт ошибся? Получается так, что наш великий поэт допустил элементарную математическую ошибку и не заметил, что 33 нельзя раз- делить нацело на 2? Нет, конечно. Поч­ти шесть лет - с 19 октября 1811 года до 9 июня 1817 - Пушкин провел в Импера­торском Лицее, который при­надлежал к числу учебных заведений с энциклопедической программой обучения и воспитания. Он давал общее высшее образование, прирав­ненное к университетскому. Обучение в Лицее длилось шесть лет: первые три года - начальный курс - изучались пред­меты старших классов гимназии, три по­следующих года - университетский (или окончательный) курс - предметы универ­ситета. В лицейском Уставе говорилось о равнопра­вии гуманитарных и точных наук: «При вступлении воспитанников в курс окон­чательный, науки нравственные, физиче­ские и математические должны занимать первое место». Пройдет всего несколько лет, и много­численные научно-технические открытия изменят представления о мире и вызовут огромный интерес к точным наукам. И по­явятся гениальные пушкинские строки:

О сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг...

О высоком качестве математического образования в лицее говорит следующий факт: Однажды в конце учебного года про­фессор Я.И.Карцов попросил своих учеников вычислить сумму 1 + 2 + 3 + ... + 10.

Кто быстро, кто не очень, но каждый получил ответ - 55. А теперь, - продол­жил учитель, - перед некоторыми из этих десяти чисел поставьте знак минус так, чтобы полученная сумма равнялась ну­лю. Кто этого добьется, получит отличную оценку за год! Доподлинно неизвестно, чем закон­чилась эта история. Быть может, зада­ча оказалась сложной для лицеистов -гуманитариев. Дело в том, что получить ноль таким образом невозможно, и ожида­емое учителем доказательство этого несо­мненно заслуживает пятерки.

Летом 1831 года, женившись, Пушкин проводил лето в Царском Селе и вновь посетил Лицей. Известно, что лицеистов в классе рассаживали в соответствии с успехами в учении: чем ниже успеваемость воспитанника, тем дальше от кафедры он должен был садиться. И вот тогда летом 31-го года один самый смелый воспитанник спросил поэта - за что учитель математики отправил его за самую последнюю парту? ! - Я не мог 33 разделить на 2! - улыбнулся поэт.

В это время, летом 31-го, Пушкин за­вершал работу над «Сказкой о Царе Салтане». В рукописях поэта сохранились две записи этого сюжета, относящиеся к 1822 и 1824 годам. Вер­нувшись из Лицея к своему письменному столу, поэт вновь вспомнил пору своего ученичества, вспомнил и эпизод с деле­нием, всего-то на всего - одно число раз­делить на другое. Но это деление у юного Александра никак не получалось. Это был именно тот день, когда учитель сказал ему: «Ступайте, Пушкин, на место! И про­должайте лучше сочинять свои стихи!..»

Историю о том неудавшемся делении и зашифровал поэт в рассказе о тридцати трех богатырях, выходящих из моря па­рами!...

2.Учёный кот Пушкина.

А.С. Пушкин писал: «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»

Читая произведения Пушкина, мы находим применение геометрии. Кому не известны следующие пушкинские строки из поэмы «Руслан и Людмила».

У лукоморья дуб зеленый

Златая цепь на дубе том.

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом.

А задумываемся ли мы над тем, какую линию описывает кот при своем движении? На первый взгляд может показаться, при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь все время наматывается или сматывается с дуба так, что она натянута и образует касательные к окружности ствола. Ее концы при этом описывают сложную геометрическую кривую. Так что кот не зря назван Пушкиным «Ученым»: он знаком с этой геометрической кривой.

3.Задача о «Гордом холме»

Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная А.С.Пушкиным в «Скупом рыцаре».

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Таким образом, можно сформулировать математическую модель данной задачи:

Какую высоту будет иметь куча песка, насыпанная горстями людей из древнего войска?

На какое расстояние увеличится дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана?

По экспериментальным данным среднее значение одной горсти песка у одного взрослого мужчины может быть равным 156 см³.

Старинные армии были не так многочисленны, как современные. Рассмотрим большое войско, состоящее из 100 000 человек. Поэтому по нашим расчетам объем такого холма мог быть:

³ = 15,6м³.

Высота холма при заданных условиях будет составлять высоту конуса. Угол откоса ≤ 45⁰, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса максимальный в 45⁰.

Если даже каждый воин принес не горсть земли, а пригоршню, то и тогда по результатам эксперимента её средний объем равен 284 см³.

А объем холма: 28400000см³=28,4м³.

Высота такого холма немного отличается от предыдущего и будет:

3,005м.

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу высотой в 3 метра назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У великого полководца Атиллы было самое многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают это войско в 700 000человек. Если бы эти воины участвовали в насыпании холма, то куча была бы выше. Объем такой кучи был бы в 7 раз больше рассчитанной, а высота холма превышала вычисленную высоту в . Она равнялась бы 3 1,9 = 5,7 м. Наверное, курган таких размеров не удовлетворил бы честолюбие Атиллы.

А.С. Пушкин делает ошибку, говоря о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».

Полчища Атиллы не смогли воздвигнуть холм выше 5,7м. теперь можно завершить расчеты, определив, насколько холм этот расширял горизонт наблюдателя, поместившегося на его вершине.

Глаз такого зрителя возвышался бы над почвой на 5,7+1,5=7,2, т.е. на 7 метров, и, следовательно, дальность горизонта была ровно бы 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле, а наблюдать море можно, если находишься на его берегу.

Это легенда, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Доказано геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

4. Заключение

Приступая к исследованию, мы ставили перед со­бой задачу вызвать интерес к изучению предмета «математика» у учащихся, имеющих гуманитарный склад ума.

Математика неисчерпаема и многогранна, одного покоряет ее логическая стройность, другого – абстрактный метод, третий ценит в ней величайшую полезность. Единство особенности математики – это так же ее особенность, которая составляет ее красоту.

В нашей исследовательской работе раскрыты факты счастливого соединения художественного и математического таланта, наблюдаемого у некоторых людей. Читая художественные произведения, мы встречали в них элементы математики.

Математика и литература, не так далеки друг от друга. Искусство и наука требуют фантазии, творческой смелости, зоркости и наблюдения различных явлений жизни. Литература учит нас понимать окружающий мир, математика – точно мыслить, соизмерять, оценивать этот мир.

Через поиск и решение математических задач в литературных произведениях, и сравнение полученных решений с автор­скими, мы, повторяя сказанное выше, хотели вызвать интерес к изучению математики.

Для этого:

- была изучена научная и научно-популярная литература, исследующая связь литературы и математики, представляющая решение задач в литературных произведениях;

- были подобраны для исследования отрывки из художественных произведений, в которых рас­сматривались или были представлены различные математиче­ские задачи или ситуации, связанные с этой наукой;

- выполнено решение подобранных задач;

- проведено сопоставление полученных в данном исследо­вании решений задач с решениями, представленными авторами литературных произведений;

О заинтересованности нашим проектом говорит тот факт, что другие учащиеся нашей школы сами стали находить и приносить нам математические задачи из произведений детской художественной литературы: «Алиса в стране чудес» Льюиса Кэрролла, «Старик Хоттабыч» Л.И. Лагина и др.

Если 2 из 15 человек, с которыми мы общались, перед которыми мы выступали с нашим исследованием, увидят в художественных произведениях математическую ситуацию, задачу, там где раньше никогда её не видели, не обращали на неё внимание, и хотя бы 1 человек попытается разобрать ситуацию, приступить к решению этой математической задачи, мы считаем, что наша работа, наше исследование, принесли огромную пользу, ибо они увидели за словом число, за сюжетом – формулу, то есть цель нашей работы – достигнута.

Вывод

Подводя итог, можно с уверенностью сказать, что математика и литература – это вечные науки. С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и художнику, и писателю. Не менее важна и литература, позволяющая человеку выражать свои мысли, чувства, эмоции. Только в тесной взаимосвязи этих наук человек будет чувствовать себя спокойно, уверенно, комфортно в этом огромном мире загадок.

Список литературы

1. А.Блок «Автобиография»

2. Депман И. Я. Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики М., «Просвещение» 1989 С. 191

3. Козлов С.Софья Васильевна Ковалевская: приложение «Математика» к газете «Первое сентября» [Текст] / - 2009. -№18.-С. 2-3.

4. Перельман, Я. И. Занимательная арифметика. [Текст] / Я. И. Перельман. - Русанова, 1994.

5. Пушкин А.С. Сочинения в 3-х томах, Санкт-Петебург:Золотой век, Диамант,1997

6. Пуш­кин А. С. Поли. собр. соч.: В 17 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1939-1959.

7. Пушкин А.С. Руслан и Людмила. М., 1993,с.12

8. Пушкин А. С. Сказка о царе Салта­не

9. Пушкин А.С. Скупой рыцарь. Собр. Соч. Т. №3, М., 1969. – С. 353.

Приложение (задачи), предложенные другими учащимися.

1.Льюис Кэрол «Алиса в стране чудес»

В знаменитой сказке « Алиса в Стране чудес» происходит очень много превращений.

«…Алиса откусила еще кусочек и вскоре съела весь пирожок.

-Я теперь, раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги! В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение – и они скроются из виду.

-Бедные мои ножки! Кто же будет вас теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас теперь не достать».               Почему Алиса так переживала?

Части тела Алисы уменьшались и увеличивались согласно прямой пропорциональной зависимости. Увеличилась длина ног и длина рук в одинаковое количество раз. Переживания Алисы напрасны, она сама без труда смогла бы надеть и чулки и башмаки.

2.Н.А.Некрасов « Дедушка Мазай и зайцы»

« Вижу один островок небольшой-

Зайцы на нем собралися гурьбой.

С каждой минутой вода подбиралась

К бедным зверькам; уж под ними осталось

Меньше аршина земли в ширину,

Меньше сажени в длину».

Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади? S= а*в, а = 1аршин=72см,  в=1 сажень =216см.   S= 0,72 *2,16 =1,5552 м².  Ответ: островок небольшой.

3.Л. Гераскина «В стране невыученных уроков»

Пять землекопов выкопали траншею в сто погонных метров за четыре дня.

Сколько погонных метров выкопал каждый землекоп в течение двух дней при условии, что все землекопы выполнили одинаковый объем работ?

Решение: 1)100: 4: 5 · 2 = 10 (м)      Ответ: выкопал каждый  землекоп в течение двух дней.

4.Задачи от Григория Остера:   «Задача про кактус»

 Федя с одноклассниками и учительницей пошел на экскурсию в ботанический сад и там присел отдохнуть на кактус. 27 колючек он сумел вытащить из себя сам. 56 колючек достала из него учительница. Каждый из 24 его одноклассников вынул из Феди по 12 колючек. Оставшиеся 187 штук помогли добыть другие посетители ботанического сада. Узнай, сколько колючек торчало из кактуса до того, как Федя присел на него отдохнуть, если во время этого события кактус расстался с третьей  частью колючек?       

Решение:  3· (27+56+12· 24+187) = 1674 (кол.)      Ответ: 1674 колючки торчало из кактуса.

5.« Зарядка для хвоста»

История о том, как главные герои измеряли рост удава. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. А так ли это на самом деле? На самом деле, средний рост попугая = 22см, мартышки = 77см, слона = 335см, удава = 10м.

Выполнив несложные вычисления, получим, что в жизни длина 1 удава = 45 попугаям (1000: 22=45) = 13 мартышкам (1000: 77= 13) = 3 слонам (1000: 335 = 3) .

6.И.С. Тургенев «Муму»

«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения».

Решение: Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными вычислим рост Герасима: 12* 4,5 см = 54 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда  богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2*72см = 144см (2 аршина)

2)144 +54= 198см (2 аршина и 12 вершков).

Ответ: рост Герасима был 1м 98см -  высокий человек.

7.Л. Н. Толстой «Арифметика»

1.У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец.                                                                                                                         Ответ: 13 и 22.

     2.Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 руб. Сколько было всех денег?                                                 Ответ: 2300 руб.

     3. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А младшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей младшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?        

                                                                                             Ответ: 2000 руб. стоил каждый дом.

8.Задача про артель косцов

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение: Пусть x – число косцов в артели, а y – размер участка, скашиваемого одним косцом в один день.  Площадь большого луга: xy/2+xy/4 = 3xy/4. Площадь малого луга: y+xy/4 = (xy+4y)/4. Но первый луг больше второго в 2 раза, значит: 3xy/4: (xy+4y)/4 =2 или 3xy/(xy+4y)=2.         3x/(x+4) = 2      3x = 2x+8       x = 8          

 Ответ: было 8 косцов