Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Математический диктант.

Определение : отрезок х называется средним пропорциональным

или средним геометрическим

между двумя отрезками а и в , если а : х = х : в .

Например, отрезок длиной 6 см является средним пропорциональным

между отрезками с длинами 9 см и 4 см, т.к. 9 : 6 = 6 : 4 .

Равенство а : х = х : в можно записать в виде х 2 = а в

или в виде х =

х – среднее геометрическое между а и в

Реши задачи:

1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным

между отрезками с длинами 16 см и 4 см ?

да

2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным

между отрезками с длинами 15 см и 6 см ?

нет

3. Является ли отрезок длиной см средним пропорциональным

между отрезками с длинами 5 см и 4 см ?

да

Важное свойство.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины

прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных

треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

С

Дано: АВС, АСВ = 90 0 ,

СН АВ .

Доказать: АСН и СВН подобны ,

АСН и АВС подобны ,

СВН и АВС подобны .

В

А

Н

Доказательство:

Пусть А = , тогда В= 90 0 - ,

АСН = 90 0 - , ВСН = 90 0 - ( 90 0 - ) = .

Итак, прямоугольные треугольники АСН и СВН подобны, т.к. А = ВСН,

прямоугольные треугольники АСН и АВС подобны, т.к. А - общий,

прямоугольные треугольники СВН и АВС подобны, т.к. В – общий.

Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из

вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное

между отрезками, на которые делится гипотенуза

этой высотой.

С

Дано: АВС, АСВ = 90 0 ,

СН АВ .

Доказать: СН =

А

В

Н

Доказательство:

По доказанному АСН и СВН подобны, значит,

сходственные стороны пропорциональны:

АН

CH

, следовательно, СН 2 = АН · НВ, т. е. СН =

CH

HB

Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее

пропорциональное между гипотенузой и отрезком

гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,

проведённой из вершины прямого угла.

С

Дано: АВС, АСВ = 90 0 ,

СН АВ

Доказать: АС =

А

В

ВС =

Н

Доказательство:

По доказанному АСН и АВС подобны, значит,

сходственные стороны пропорциональны:

АВ

АС

АН

АС

Значит, АС 2 = АВ · АН, т. е.

АС =

АВ

ВС

По доказанному ВСН и АВС подобны, значит,

сходственные стороны пропорциональны:

ВН

ВС

Значит, ВС 2 = АВ · ВН, т. е.

ВС =

Реши задачу

1.

·

Реши задачу

2.

9

?

4

Реши задачу

3.

8

1

?

Домашнее задание

П. 65, п. 66, выучить доказательство теоремы Пифагора в №578 и решить задачу №579.

Михайлова Л. П.

ГОУ ЦО № 173.