Решение показательных уравнений

Этап урока

Время

Ход урока

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

1. Оргмомент

2.Актуализация знаний

 3. Мотивация к  учебной деятельности

определение темы

постановка цели

    составление плана работы

1 мин.

6 мин.

5 мин.

: Добрый день! Урок я хочу начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. «Произнеси это 5 раз». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь», - сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

- Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте проверим вашу готовность к уроку, ответив на вопросы по пройденному материалу.

Устный фронтальный опрос по теме: «Показательная функция и ее свойства».

1.Какая функция называется показательной?

2.Область значений показательной функции.

3.Что называется корнем уравнения?

4.Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4х?

5.Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5x, 4) у = x3.

6.Назовите основные свойства показательной функции?

(Область определения- множество действительных чисел; область значений- множество положительных чисел; при  а1 функция возрастает, при 0 функция убывает.)

П: А теперь посмотрите, пожалуйста, на доску. Здесь изображены равенства:

1. х² + 5х – 7 = 0

2. 7^3х-6 = 1

3. 7х + 1 = 5

4. 2^х = 4

5. 25^х+3=125^х

6. 3х² + 2х – 9 = 0

7. 2х+1=3х – 1

Как называются эти равенства? (Уравнения)

Что значит решить уравнение?

(Решить уравнение - означает найти все  его корни или установить, что их нет.)

Разбейте эти уравнения на две группы.

По каким критериям вы разбили данные равенства на группы?

Как вы думаете, как будут называться уравнения, у которых в показателе степени переменная? (показательные)

Как вы думаете, как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия? (Показательные уравнения)

Исходя из темы нашего урока, сформулируйте цель, которую вы должны достигнуть в конце нашего занятия

Настраиваются на работу

Повторяют пройденный материал, используют конспекты

Отвечают на вопросы

Просматривают равенства и на основании выдвинутой характеристики разбивают их на группы.

Записывают в тетради тему урока

Определяют цель работы

Для того, чтобы достичь цели, необходимо составить план работы:

1.Определение показательных уравнений

2. Методы решений показательных уравнений

3.Решение показательных уравнений

4. Выполнение проверочной работы

Высказывают предложения

4. Изучение нового материала

    объяснение определения показательного уравнения

5. Первичное закрепление знаний и умений

  6. Закрепление изученного материала

10 мин.

5 мин.

10 мин.

 С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Т.е другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

 1.Определение показательных уравнений

Уравнение, где переменная содержится в показатели степени, называется показательным.

• Простейшее показательное уравнение имеет вид

• Если b a^x=b не имеет решения.

Например,

   Решение показательных уравнений в основном сводится к решению уравнения           

, где  

Известно, что показательная функция  при  и  либо возрастает, либо убывает. Поэтому каждое свое значение у она принимает только при одном значении аргумента х. Следовательно, из равенства  , где  и  - некоторые функции, следует равенство  Этим утверждением и руководствуются при решении показательных уравнений.

2. Способы решения показательных уравнений

 Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

а)2^х-5 = 16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5 = 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

б)3^х = -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2 = 350
7^х + 7^х 7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16^х – 17 4^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t  , тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁ = 1, то 4^х = 1, 4^х = 4⁰, х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4^х = 16, 4^х = 4², х₂ = 2

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15^х + 20^х = 25^х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15²+ 20² = 25²

625 = 625

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

 + = 1

 + = 1

Функции  ,   – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х = 2.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

у = 4^х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4¹ = 5-1, 4 = 4 (верно)

Ответ: х = 1.

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2³· 2⁵·… ·2^2х-1 = 512

2^{1+3+5+…+2х-1} = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n = х= х·х = х²

⁹
х² = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

Ответ: х = 3.

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4^х – 13  6^х + 6 ·9^х = 0
6 ·2^х – 13 ·2^х 3^х +6· 3^2х = 0

Так как 3^2х  0, то разделим обе части уравнения на 3^2х, тогда получим

 ^– 

6· ( ^2х – 13· ( ^х + 6 = 0

Путь( ^х =t, тогда получим уравнение 6t² – 13t + 6 = 0

D = 13² -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ =  _,   t₂ = _.

Если t₁ =  ^х =  _,  ^х = ( )¹, х₁ = 1.

Если t₂ =  ^х =   _,  ^х = ( )^-1, х₂ = -1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = -1.

.

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

-И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3^х-1 -3^х + 3^х+1 = 63

3.3^-х = -

4.64^х – 8^х –56 = 0

5.3^х +4^х = 5^х ( устно)

Тест

1 вариант

1.Найдите корень уравнения: 27^х = -27

             а) нет корней        б) – 1         в) 0

1. Найдите корень уравнения:

2. 9 ^-9+х=729                                

             а) -6                      б) 12            в) -12

 3. Найдите корень уравнения: (14)^х-3 = 64

              а) 6                       б) 9             в) 0

4. Найти сумму корней уравнения  

            а)  1                       б) -1               в) 9

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

4^3х+2= (12)^2х

            а) -0,5;1            б) (5; 7)          в) 2; 3

  2 вариант

 1. Найдите корень уравнения: 125^х = -125

            а) нет корней        б) 3           в) 5

2. Найдите корень уравнения: 5 ^{3 - х}=125

             а) -3                      б) 0            в) -1

3. Найдите корень уравнения: (17)^х-3 = 49

             а) - 3                     б) 5             в) 1

4. Найдите сумму корней уравнения  5^х2-3х+2=1

            а) – 2                     б) 3              в) - 3

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

                  9^х= (13)^3х-5

           а) 1;3                б) (0; 1)          в) 2; 3

Записывают в тетради определение показательного уравнения

  Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Решают тест по вариантам.

Сверяют ответы со слайдом.

7. Рефлексия

 8. Домашнее задание

2 мин.

1 мин.

П: Наш урок подходит к концу. Сегодня вы очень плодотворно потрудились, ваша работа, конечно же, будет оценена. А сейчас я  предлагаю проявить творчество и выразить свое отношение к изучаемой теме – написать синквейн.

Правила написания синквейнов:

Синквейн – это стихотворение, которое требует синтеза материала в кратких предложениях (cinq (фр.) – пять, veine (фр.) – поэтическое настроение).

1. Первая строчка – описание темы одним словом (обычно существительным).

2. Вторая строчка – описание темы в двух словах (двумя прилагательными).

3. Третья строчка – описание действия в рамках этой темы тремя словами (глаголы, деепричастия…).

4. Четвертая строчка – фраза из четырех слов, показывающая отношение к теме.

5. Последняя строчка – синоним (метафора) из одного слова, которое передает суть темы.

После выполнения задания подгруппа зачитывает получившиеся синквейны.

П: Дома я предлагаю вам составить 3 показательных (решаемые  любым методом) и решить их.

Правила написания синквейнов проецируются на экран.

Пишут синквейн в подгруппе.

Записывают домашнее задание.