Решение треугольников

Решение треугольников

Геометрия 9 класс

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Определение

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам.

В

c

a

С

А

b

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Для этого вспомним

Решение данных задач основано на использовании теорем синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.

Соотношения между сторонами и углами в треугольнике

• Сумма углов треугольника.
• Теорема синусов.
• Теорема косинусов.

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180 º

• Сумма углов треугольника равна 180 º

В

С

А

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

В

c

a

С

А

b

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

5

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В

c

a

С

А

b

5

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Три задачи на решение треугольника

Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника:

• решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
• решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам;
• решение треугольника по трем сторонам.

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Договоримся

При решении треугольников будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника ABC: АВ = с, ВС = а, СА = b.

В

c

a

С

А

b

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

В

Дано:  АВС , а , b,  C

Найти: с,  А ,  В .

• Дано:  АВС , а , b,  C Найти: с,  А ,  В .

a

c

С

b

А

8

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 1 . Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

1. Применим теорему косинусов

• 1. Применим теорему косинусов

В

2. По теореме косинусов находим

• 2. По теореме косинусов находим

a

c

3. Угол А находим с помощью таблицы Брадиса

• 3. Угол А находим с помощью таблицы Брадиса

С

b

А

4. Запишем ответ

• 4. Запишем ответ

9

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 2 . Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

В

Дано:  АВС , а,  В ,  С

Найти: b, c,  A

• Дано:  АВС , а,  В ,  С Найти: b, c,  A

a

c

С

b

А

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

1. Найдём неизвестный угол

• 1. Найдём неизвестный угол

В

2. С помощью теоремы синусов:

• 2. С помощью теоремы синусов:

a

c

С

b

А

3. Запишем ответ

• 3. Запишем ответ

11

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 3 . Решение треугольника по трём сторонам

В

Дано:  АВС , a, b, c

Найти:  А ,  В ,  С.

• Дано:  АВС , a, b, c Найти:  А ,  В ,  С.

a

c

С

b

А

12

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Задача 3. Решение треугольника по трём сторонам

1. По теореме косинусов найдём

• 1. По теореме косинусов найдём

В

a

c

2. Значения углов А и В находим с помощью таблицы Брадиса.

• 2. Значения углов А и В находим с помощью таблицы Брадиса.

С

3. Находим оставшийся угол

• 3. Находим оставшийся угол

b

А

4. Запишем ответ

• 4. Запишем ответ

13

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Таблица – памятка

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Решение треугольника по трем сторонам

А

А

А

c

b

b

γ

γ

β

a

a

a

С

В

В

В

С

С

14

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Решаем задачу 1

Решить треугольник АВС, если

 А=60 º  В=40 º , с=14см.

В

Дано:  АВС,  А=60 º,

 В=40 º , с=14см.

Найти: a , b,  С.

Ответ

А

С

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Решаем задачу 2

Решить треугольник АВС, если

a = 6,3 см , b=6,3 см ,  C = 54º.

С

Дано:  АВС, a = 6,3 см ,

b=6,3 см ,  C = 54º.

Найти:  А ,  В , c .

Ответ

А

В

16

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Решаем задачу 3

Решить треугольник АВС, если

a = 6 см , b=7,7 см, c=4,8 см.

В

Дано: a = 6 см , b=7,7 см,

c=4,8 см.

Найти:  А ,  B,  C .

Ответ

C

А

17

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ