Решение задач с помощью уравнений 2 степени

№ 268 . Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

Пусть 1 число – х, а 2 число – у, известно, что их сумма х+у=12, а произведение х · у=35.

Решение: составим систему уравнений:

х+у=12 ; х=12-у(выразим х через у)

х · у=35; (12-у)у=35 ( подставим во 2 уравнение вместо х выражение (12-у)) (1)

• 12у-у 2 =35

-у 2 +12у-35=0 | (-1)

у 2 -12у+35=0 Д=144-140=4=2 2

у 1 =7, у 2 =5.

х 1 =5, х 2 =7 Ответ: 5 и 7.

№ 270 . Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

10

Что нам неизвестно?

Как обозначим эти неизвестные величины?

Как найти периметр нашего прямоугольника?

Составьте 1 уравнение системы.

2(х+у)=28

Как нам связать стороны с диагональю?

По теореме Пифагора получаем х 2 +у 2 =10 2 это второе уравнение системы.

у

х

х+у=14

Х 2 +у 2 =100

х=14-у х 1 =6

(14-у) 2 + у 2 =100 (1) у 1 =8

х 2 =8

у 2 =6

• 196 -28у + у 2 + у 2 - 100 = 0

2у 2 - 28у + 96 = 0

у 2 – 14у + 48 = 0 Д 1 = 49 – 48=1

у 1 =8; у 2 =6.

Ответ: 6 и 8 см.

0. а 2 - 61а + 900 = 0, Д =61 2 -4 · 900=3721-3600=121 а 1 = 36, а 2 =25. Обратная замена: у 2 =6, у=6, у 2 =25, у=5 х=5 х=6 Ответ: 5 и 6 см. S= х 2 S= у 2 S= ху у х у х " width="640"

№ 276. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см 2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 30 см 2 .

2(х 2 + у 2 ) =122 х 2 + у 2 = 61

ху = 30 х = 30 / у

(30 / у) 2 + у 2 – 61 = 0

у 4 – 61у 2 + 900 = 0

Замена у 2 = а, а 0.

а 2 - 61а + 900 = 0, Д =61 2 -4 · 900=3721-3600=121

а 1 = 36, а 2 =25.

Обратная замена: у 2 =6, у=6, у 2 =25, у=5

х=5 х=6

Ответ: 5 и 6 см.

S= х 2

S= у 2

S= ху

у

х

у

х

Самостоятельная работа

2 вариант

• Сумма двух чисел равна 25,

а их произведение равно

144. Найдите эти числа.

• Гипотенуза прямоугольного

треугольника равна 20.

Найдите его катеты, если

известно, что один из них на

4 см меньше другого

1 вариант

• Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого

с

а

а 2 +в 2 =с 2

в

№ 279. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 часа 45 минут. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 часа быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?

Обозначим за х время, которое требуется первому экскаватору для выполнения одного и того же объема работ, за у время, которое требуется второму экскаватору ,

Составим первое уравнение, зная, что первый экскаватор может выполнить работу на 4 часа быстрее.

Составим второе уравнение, зная, что работая вместе они выполнят работу за 3 часа.

3

4