Решение задач с помощью уравнений

Пример оформления решения текстовых задач, решаемых арифметическим методом и методом составления уравнения.

ЗАДАЧА: Расстояние между двумя городами по реке на 55 км меньше, чем по шоссе. Расстояние между городами теплоход проходит по реке за 6 ч, а автобус по шоссе – за 3 ч 30 мин. Найдите скорости автобуса и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости автобуса.

Осмысление условия задачи (1 этап):

Осмысление посредством рассмотрения следующих вопросов (учащимися или с помощью учителя):

• На сколько меньше расстояние между городами по реке, чем по шоссе?

• За сколько часов теплоход проходит по реке между городами?

• За сколько часов автобус проходит по шоссе между городами?

• На сколько скорость теплохода меньше скорости автобуса?

• Какие величины присутствуют в задачи и какую величину требуется найти?

• Как связаны между собой скорость, время, расстояние?

• Решали ли похожие задачи раньше?

В завершении этапа задача оформляется таблицей:

Составление плана решения задачи (2-й этап):

На этом этапе обсуждается стратегия решения задачи. Вводится обозначение искомой величины. Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и основных отношений, заполняется таблица поиска решения задачи:

3ч 30 мин = 3,5 ч

Исходя из модели поиска решения записывается неравенство 3,5Х ˃ 6(Х-30) на 55, с помощью которого составляется уравнение 3,5Х – 6(Х-30) =55

Осуществление плана решения задачи (3-й этап):

Далее вытекает решение полученного уравнения

3,5Х – 6(Х-30) =55

3,5Х-6Х+180 = 55

-2,5Х = -125

Х= 50 км/ч (скорость автобуса)

Данное уравнение имеет один корень – число 50.

Однако решение задачи на этом не заканчивается, так как нужно определить две величины, вторая определяется арифметическим способом:

Скорость теплохода ˂ скорости автобуса на 30,

следовательно 50-30 =20 км/ч,

где 50 – скорость автобуса.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли полученный корень уравнения условию и требованию задачи. Для этого надо по найденному значению Х по порядку вычислить значение входящих в задачу величин. Если все найденные значения удовлетворяют смысловым ограничениям, то корень уравнения дает решение задачи. По смыслу данной задачи все входящие в неё величины должны принимать положительные значения.

Проверим:

Х = 50 положительное значение

Х-30 = 50-30 = 20 положительное значение

3,5Х = 3,5 * 50 = 175 положительное значение

6(Х-30) = 6(50-30) = 120 положительное значение

175-120 = 55 положительное значение, являющееся данным.

Следовательно, Х = 50 удовлетворяет условию задачи, то есть является её решением.

Ответ: скорость автобуса равна 50 км/ч, а скорость теплохода равна 30 км/ч.

Изучение найденного решения задачи (4-й этап):

Перед учащимися в соответствии с содержанием задачи ставятся вопросы:

• Какова главная идея решения задачи?

• Есть ли другие способы её решения?

Если учащиеся решили не сколько таких однотипных задач, то можно поставить вопрос:

• Какова сущность общего способа решения таких задач?