Решение текстовых задач по математике

Оржевский филиал МБОУ Уметской СОШ

Тема: «Решение текстовых задач различными способами»

В начальных классах учащимся знаком только один способ решения текстовых задач – арифметический и немного учебного времени отводится для решения задач с помощью уравнений. Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Уже в 5-6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений».

Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.

На мой вопрос к учащимся 5-9 классов: «Какие способы решения текстовых задач вы знаете?» я получила следующие ответы:

-22% учеников ответили на мой вопрос: «….по действиям»,

-78% ответили: «…с помощью уравнения». Единицы учеников назвали эти способы, как арифметический и алгебраический. Других способов решения текстовых задач опрошенные учащиеся не назвали.

Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче».

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ , в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти .

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

• арифметический,

• алгебраический,

• геометрический,

• схематический,

• графический

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический. Решить задачу схематическимспособом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Графический. Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

Решение текстовых задач арифметическим способом

В арифметическом способе решить задачу- это значит выполнитьарифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

Саша – 22 гриба;

Коля -?грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;

Витя-?грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;

Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

22:2=11(гр.) Коля,

11+6=17(гр.) Витя,

22+11+17=50 (гр.) вместе.

Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:

22+22:2+(22:2+6)=50

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192:2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Решение текстовых задач алгебраическим способом

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода» .

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

1) Арифметическую краткую запись условия задачи (цель этого этапа-осмысление задачи и выяснение связей между величинами). Форма записи может быть различной – схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи. Важно помнить, что этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями. Неизвестные величины на чертеже или в таблице удобно обозначать знаком «?», а главный вопрос задачи, например, выделить в «кружок». Нужно помнить, что единицы измерения всех величин должны быть единые. Намного облегчает решение задачи общепринятые обозначения в математике, физике и т.д.

2) Алгебраическая краткая запись условий задачи (цель этапа – удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё. Форма записи такая, как и на 1 этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной. Важно помнить, обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц -…, тогда…». Чаще всего за неизвестное принимают главный вопрос задачи, хотя бывает это и неудобно, тогда за неизвестное принимают другую величину. При введении переменной необходимо учесть наибольшее удобство математической записи условия задачи.

3) Составление и решение уравнения или системы уравнений или неравенств (цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение). Необходимо учитывать область допустимых значений переменных (ОДЗ), чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s=vt.

4) Анализ решения уравнения или неравенства. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения выбрать те, которые подходят по смыслу задачи. Обычно этот этап начинается фразой: «По смыслу задачи x должна быть величиной…» (положительной, натуральной, целой, принадлежащей промежутку и т.д.) Если смысловое значение не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением. Полезно провести проверку.

5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи -поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников,значит

(82-х)+(32-х)=78, 2х=36, х=18 учеников занимались танцами, 82-18=64 ученика пели в хоре, 32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.

Задача 3. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

Пусть х деталей в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10)деталей в день - новая производительность, Зх деталей – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

Решение текстовых задач геометрическим способом

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный метод делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Французский математик София Жермен писала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах»

Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Данную задачу можно решить алгебраическим способом, например, применив дважды, основное свойство пропорции, а можно, применив формулу изменения величины в процентах. Тогда если а – первоначальное количество продукции, а х - % увеличения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х)=а. Решив уравнение, найдём х=25%.

Но геометрический способ, на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение.

Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.

Ответ: на 25%.

Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15-x)= 25/(15+x),где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x=2,5км/ч.

Рассмотрим геометрический метод. Прямоугольники изображаем вместе, чтобы они составляли один большой прямоугольник. Высоты составляющих прямоугольников равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки. Пусть сторона АВ прямоугольника ABCD изображает скорость лодки по течению реки, ВЕ– скорость лодки против течения (BE ˂АВ), а отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки, AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через x скорость течения реки, а через t– время движения лодки по течению реки, то AB=15+х  и EF=AD=t.

Площадь прямоугольника АВСD (S₁) будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки: S₁=AB•AD=35.

D

C

F

t

t

15+х

15-х

А

В

Е

Площадь прямоугольника BEFC (S₂), равная произведению длины на ширину, соответствует пути, пройденному против течения реки:S₂=BE•EF=25. Площадь большого прямоугольника AEFD определяет весь путь пройденный лодкой: S=S₁ +S₂=35+25.В то же время, S=AE•EF, AE=(15+x) +(15-x) =30, EF=t, тогда имеем: 30t=60, t=2, 35:2 = 17,5 – скорость движения лодки по течению, 17,5 – 15 = 2,5 км/ч – скорость течения реки.

Решение текстовых задач схематическим способом

Схематический способ решения задач - это старинный способ, его знали ещё до н.э. в Древней Греции во времена Пифагора, а в 18-19 веках успешно использовали купцы при торговле смешанным товаром.

Задача 9. Родительский комитет детского сада решили закупить конфеты для новогодних подарков для 100 детей. Было решено сделать подарки на сумму 150 рублей. На оптовой базе они выбрали конфеты по цене 225р., 135 р., 180 рублей за кг. Каждая конфета в среднем весит 10 граммов. Сколько конфет каждого вида необходимо купить родительскому комитету?

Решим задачу схематическим способом, этот способ разработал Л. Магницкий.

Запишем в столбик друг под другом цены двух сортов конфет в порядке возрастания 135 р. и 180 р., в центре второго столбика запишем цену смеси конфет 150 рублей. В третий столбик запишем модуль разности чисел 180 и 150, 150 и 135р. Получившиеся результаты разделим на НОД самих чисел 30 и 15, т.е. на 15, получим 2 части и 1 часть, эти результаты запишем в 4 столбик. Аналогично поступим с конфетами по 225р.

135 180-150=30 30:15 =2 части

150 НОД(15;30)=15

180 150-135=15 15:15 =1 часть

135 225-150 =75 75:15=5 частей

150 НОД(75;15)=15

225 150-135=15 15:15=1 часть

Мы получили две схемы, значит конфет по 135 р необходимо 2+5=7 частей, по 180 р 1 часть, по 225 р 1 часть.

Этот способ у Л.Магницкого называется «правилом крестика».

Эти части означают, что если на 100 детей распределить по 1 конфете массой 10 граммов, то потребуется 1 кг по 180 р., 1 кг по 225 р., 7 кг по 135 р.

Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов .

Приведу пример ещё одной задачи, которая наглядно даёт представление о практическом применении знаний в быту.

Задача 10. У мамы имеется 70 % уксусная эссенция и 6% пищевой уксус. Для консервирования, ей нужно получить 14% раствор уксуса. Как маме получить необходимый раствор?

70% 14-6=8 8:8=1часть

14% НОД(8;56)=8

6% 70-14=56 56:8=7 частей

Значит, для получения необходимого раствора нужна 1 часть 70% эссенции и 7 частей 6% пищевого уксуса. В роли одной части может выступать, например, чайная ложка.

Решать некоторые математические задачи помогают специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их отрезков или стрелок. Такие схемы называются графами, точки вершинами графа. А отрезки или стрелки – ребрами графа. Решим с помощью графов задачу.

Решение текстовых задач графическим способом

Графическое изображение, описывающее условие задачи позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим. Особенно успешно можно применять этот метод при решении математических текстовых задач на движение и работу.

Задача 12. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Данную задачу можно решить арифметическим способом. Вычислим скорости автомобилей v₁=450:9=50 км/ч, v₂=450:4,5=100км/ч,

v_{сближения}= 50+100=150 км/ч, t=S:v=450:150=3 часа.

Решим её графически. По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу. Читаем с чертежа ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

На мой взгляд, данная задача решалась несложно арифметическим способом, но решение геометрическим способом ещё и наглядное, что даёт ему преимущество перед другими способами.

Рассматривая различные источники и анализируя литературу, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, можно решать геометрически, схематически, графически. Конечно, алгебраический способ - универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи. На основе изученного материла, были описаны способы решения текстовых задач, рассматриваемых в учебниках математики 5- 7 классов. В процессе исследования мы рассмотрели различные текстовые задачи, подобрали для них различные способы решения, сравнили эти способы. Решения некоторых задач продемонстрированы в работе. Тем самым были описаны наиболее часто встречающиеся традиционные и редко встречающиеся нетрадиционные способы решения.

Вывод: Арифметическим способом можно решать простые задачи 5-6 класса. В 6-7 классах уже используется более универсальный метод – алгебраический. Геометрический способ является неординарным и рациональным, отличается быстротой и наглядностью. Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов. Графический способ очень хорош при решении задач на прямолинейное движение.

В результате выполнения исследовательской работы я расширила своё представление о способах решения текстовых задач, освоила и сравнила эти способы, показала их применение при решении задач, которые рассматриваются в наших учебниках. Таким образом, была достигнута цель, которую мы ставили: исследование способов решения текстовых задач в курсе изучения математики 5 – 7 классов. Владея несколькими способами, я научилась быстрее и рациональнее решать задачи и теперь буду увереннее себя чувствовать на уроках математики.

Надеюсь, моя работа будет полезна не только мне, но и принесёт пользу моим сверстникам.

Известный математик и педагог Алексей Иванович Маркушевич говорил: «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели».

9