Решение треугольников

1 группа: уровень С

Задача: В треугольнике АВС угол В равен 60⁰. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.

2 группа: уровень В

Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.

1 группа: уровень С

Задача: В треугольнике АВС угол В равен 60⁰. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.

2 группа: уровень В

Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.

1 группа: уровень С

Задача: В треугольнике АВС угол В равен 60⁰. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.

2 группа: уровень В

Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.

Геометрический диктант

Вариант 1.

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол?

1. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания?

1. В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая?

1. Запишите теорему синусов для треугольника MPK.

1. Запишите теорему косинусов для треугольника МРК

Геометрический диктант

Вариант 2.

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 35°. Чему равен второй острый угол?

1. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, другая 58 см. Чему равна длина основания?

1. В треугольнике ABC угол C — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая?

1. Запишите теорему синусов для треугольника BCD.

1. Запишите теорему косинусов для треугольника BCD

Практические задания 2 группа:

Задача: С помощью программы «Решение треугольников» вычислите неизвестные элементы треугольника АВС (два ученика садятся за сотки и выполняют работу):

Практические задания 2 группа:

Задача: С помощью программы «Решение треугольников» вычислите неизвестные элементы треугольника АВС (два ученика садятся за сотки и выполняют работу):

Практические задания 2 группа:

Задача: С помощью программы «Решение треугольников» вычислите неизвестные элементы треугольника АВС (два ученика садятся за сотки и выполняют работу):

Практические задачи 1 группа.

Задача № 1. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а её крутизна может достигать 70⁰. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?

Задача № 2. Спортивный самолёт летит по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны 60⁰ и 100⁰. Сторону, лежащую против третьего угла, он пролетел за 1 час. За сколько времени он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную скорость?

Задача № 3. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 30⁰.

Практические задачи 1 группа.

Задача № 1. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а её крутизна может достигать 70⁰. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?

Задача № 2. Спортивный самолёт летит по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны 60⁰ и 100⁰. Сторону, лежащую против третьего угла, он пролетел за 1 час. За сколько времени он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную скорость?

Задача № 3. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 30⁰.

Практические задачи 1 группа.

Задача № 1. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а её крутизна может достигать 70⁰. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?

Задача № 2. Спортивный самолёт летит по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны 60⁰ и 100⁰. Сторону, лежащую против третьего угла, он пролетел за 1 час. За сколько времени он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную скорость?

Задача № 3. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 30⁰.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Работа по индивидуальным карточкам.

I уровень А. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

II уровень В. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

III уровень С. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Урок математики в 9 классе

на тему «Решение треугольников»

Эпиграф: «Математика представляет искуснейшие изобретенья,

способные удовлетворить любознательность, облегчить

ремесла и уменьшить труд людей.»

Р.Декарт

Девиз: «Временная неудача лучше временной удачи».

Пифагор

Цели урока:

• обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках;

• научить учащихся решать задачи на использование теоремы синусов и теоремы косинусов;

• проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии;

• способствовать развитию логического мышления учащихся;

• воспитание интереса к предмету.

Оборудование:

- учебник, чертежи, презентация, компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал, таблица Бредиса.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, коллективная.

Методы обучения: словесные, частично-поисковые, практические, наглядные, самостоятельной.

План урока

1.Организационный момент.(2 мин)

2. Актуализация опорных знаний учащихся.(7 мин)

3. Решение задач. (5 мин)

4.Математический диктант(6 мин)

5. Решение задач с практическим содержанием.(16 мин)

6.Итог урока (2 мин)

7. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

Вводная беседа учителя: сегодня на уроке повторим как по данным длинам или градусным мерам трёх элементов треугольника вычислить остальные его элементы. Решая задачи такого типа, мы говорим …(решаем треугольник)

Для этого применим структуру подумай–запиши-обсуди. И прежде чем приступить к решению различных задач, нам необходимо вспомнить, что:

1. Какие теоремы применяются при решении треугольников?

2. Сформулируйте теорему синусов? Следствие из теоремы синусов? Теорему косинусов?

3. Чему равна сумма углов треугольника? А знаете ли вы как можно это доказать только перегибанием треугольника?

4. Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)

5. . Каким может быть ?( Ответ: =30⁰ или =150⁰.)

1) , - тупой. Тогда =30⁰;

2) , аb, то =30⁰;

3) , а c, то =30⁰ или =150⁰.

6. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора? (когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; ).

- Давайте вспомним некоторые понятия, связанные с треугольниками. Для этого выполним тест на определение истинности (ложности) утверждения:

Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок.

1. В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)

2. В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)

3. Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)

4. Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)

5. Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)

6. Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)

7. В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)

8. Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)

9. Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)

10. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)

11. Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)

- около каждого утверждения поставьте И – истинно и Л – ложно.

Молодцы!

1. Решение задач:

Решение задач в группах по уровням, с последующей проверкой и комментарием

Группа 1

I уровень. В треугольнике АВС АВ=6м, АС=8м, А=60°. Найти ВС.

Ответ: м.

II уровень. Решить треугольник АВС, если АС=5, ВС=12, А=120°.

Ответ:

III уровень. В параллелограмме ABCD АВ=5, AD=8, диагональ BD равна 9. Найдите диагональ АС.

Ответ:

Решение задач в группах по уровням, с последующей проверкой и комментарием.

1 группа: уровень С

Задача: В треугольнике АВС угол В равен 60⁰. Биссектриса угла В пересекает

сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.

Решение:

(см)

Ответ:; ;АС=7,2 см

2 группа: уровень В

Задача: В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, .Найдите сторону АС.

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов

3 группа: уровень А

Задача: В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.

Решение.

Воспользуемся теоремой синусов:

Ответ:8,3 см

Задания сильным учащимся на доске ( подготовка к ВОУД). Учащиеся, которые быстро сделают свою работу, также могут выполнять данные задания.

Задача 1.

Две стороны треугольника имеют длины 6см и 12 см, а угол между ними равен 120⁰. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Решение.

Пусть дан треугольник АВС:АВ=6 см, ВС=12 см, .Сторона АС - наибольшая, так как она лежит против тупого угла. По теореме косинусов имеем:

cos 120⁰=

36 + 144 - 2612(-0,5) = 252; AC = (см)

Задача 2.

Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Решение.

Обозначим ADC = 2, а Тогда так как DB – биссектриса

ADC; а Теперь применим теорему синусов к треугольникам ADB и BDC: отсюда

1. _{Математический диктант}

Вариант 1.

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол? (42°)

2. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания? (26 см)

3. В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АС)

4. Запишите теорему синусов для треугольника MPK. (= 2R).

5. Запишите теорему косинусов для треугольника МРК ( МР²=МК² +КР²– 2МK·РК·cosK)

Вариант 2.

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 35°. Чему равен второй острый угол? (55°)

2. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, другая 58 см. Чему равна длина основания? (25 см)

3. В треугольнике ABC угол C — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АB)

4. Запишите теорему синусов для треугольника BCD. (= 2R).

5. Запишите теорему косинусов для треугольника BCD ( BC²=BD² +DC²– 2BD·DC·cosD)

1. Решение задач с практическим содержанием.

Задание 1 группы

Задача №1. Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение:

Решим треугольник АВС и найдем угол А, равный α

По теореме косинусов определим cos А

Ответ: 16⁰57^/

Задача№ 2 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

Дано: АВ=50 м, BDH=2⁰, CDH=45⁰, DH||AB.

Найти: СВ

Решение.

DH || AB →BDH=DBA=2⁰, как накрест лежащие.

cos DBA= ДВ=

Применим терему синусов:

ΔСDB:

Задача №3 Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С- дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что Ð САВ=12°30¢, Ð АВС=72°42¢. Найдите ширину реки.

Дано: АВ=70 м

Решение

По теореме синусов

Ответ:14,5 м

Задания 2 группы

Задача № 1. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 30⁰.

1. Подведение итогов.

Закончим урок словами великого итальянского ученого Галилео Галилея: “Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.

1. Домашнее задание: §2 учить, №507 решать

«Решение треугольников» 28.02

«Математика представляет искуснейшие изобретенья,

способные удовлетворить любознательность, облегчить

ремесла и уменьшить труд людей.»

Р.Декарт

Девиз: «Временная неудача лучше временной удачи».

Пифагор

Цели урока:

• обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках;
• научить учащихся решать задачи на использование теоремы синусов и теоремы косинусов;
• проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии;
• способствовать развитию логического мышления учащихся;
• воспитание интереса к предмету.

Памятка для учащихся:

• - Цени полученные знания.
• - Продемонстрируй грамотность в выполнении поставленных задач.
• - Воспринимайте задания с интересом, вдумчиво. - Не бойся ошибаться.
• - Поверь в свои силы!
• - Будь в хорошем настроении!

1.В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона.

2.В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.

3.Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см.

4.Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты.

5.Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.

6.Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы.

7.В равностороннем треугольнике все высоты равны.

8.Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны.

9.Существует треугольник с двумя тупыми углами.

10.В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

11.Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный.

около каждого утверждения поставьте И – истинно и Л – ложно.

1.В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)

2.В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)

3.Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)

4.Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)

5.Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)

6.Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)

7.В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)

8.Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)

9.Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)

10.В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)

11.Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)

Это надо знать обязательно :

Теорема косинусов :

а² = b ²+ с²-2вс cos A

в²= а²+ с²-2 a с cos B

c ²= а²+ b ²-2 ab cos C

С

а

в

В

с

А

Теорема синусов:

a b c

SinA SinB SinC

Типы задач

C

I тип задач :

Известна сторона и два прилежащих к не угла.

Найти оставшиеся элементы треугольника.

a

?

?

?

B

А

C

II тип задач :

Известно две стороны и угол между ними.

Найти оставшиеся элементы треугольника

b

а

?

?

А

a

В

В

С

?

?

?

III тип задач :

Известно три стороны треугольника.

Найти оставшиеся элементы

треугольника.

b

c

?

А

Геометрический диктант

Вариант 1.

• Один из углов прямоугольного треугольника равен 48°. Чему равен второй острый угол? (42°)
• В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 70 см, другая 26 см. Чему равна длина основания? (26 см)
• В треугольнике ABC угол В — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (АС)
• Запишите теорему синусов для треугольника MPK . (

5 .Запишите теорему косинусов для треугольника MPK ( МР 2 =МК 2 +КР 2 – 2М K ·РК· cos  K )

Вариант 2 .

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 35°. Чему равен второй острый угол? ( 55 °)

2. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25, другая 58 см. Чему равна длина основания? (2 5 см) см

3. В треугольнике ABC угол C — наибольший. Какая из сторон треугольника наибольшая? (А B )

4. Запишите теорему синусов для треугольника BCD . (= 2R).

5. Запишите теорему косинусов для треугольника BCD ( BC 2 = BD 2 + DC 2 – 2 BD · DC · cos  D )

В

?

?

12

?

60 0

С

А

8

Задача 2.

Две стороны треугольника имеют длины 6см и 12 см, а угол между ними равен 120 0 . Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Задачи

1. Даны две стороны треугольника 2 и 3 см и угол между ними 60 градусов. Найдите третью сторону треугольника.

2. Даны две стороны треугольника 3 и 4 см и угол между ними 150 градусов. Найдите третью сторону треугольника.

• 1. Решите треугольник:
• 2. Решите треугольник:

Задачи для самостоятельного решения

Задачи

“ Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.

великий итальянский ученый

Галилео Галилей

§ 2 учить

№ 507 решать