Школьный тур олимпиады по математике 8 кл 2016 г

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 2016-2017 уч. год

8 класс

(2,25 часа или 3 урока)

1. В выражении 1 – 2 – 4 – 8 – 16 =19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным.

Ответ: .

Критерии.

Верное решение – 7 баллов.

1. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см, в результате чего его площадь увеличилась на 39 Найдите периметр исходного прямоугольника.

Ответ: 20 см.

Решение: Пусть x см – ширина прямоугольника, y см – длина прямоугольника.

(x + 3)(y + 3)–xy=39, хy+3x+3y+9–xy=39, 3x+3y=30, х +y =10. Тогда Р=2(x+y)=10×2=20.

Критерии. Если есть только верный ответ – 1 балл.

Если верно найден алгоритм решения, но есть вычислительная ошибка – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. Докажите, что число + делится на 37.

Решение.

+ = + =

( + )

Т.к. 111 делится на 37, то и данное выражение делится на 37.

Критерии.

Верное решение – 7 баллов.

1. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника ABC равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение. Пусть AD и СЕ – высоты треугольника ABC, О – точка их пересечения. Из того, что в прямоугольном треугольнике АОЕ угол АОЕ равен 60°, следует, что ОЕ = АО/2, т. е. ОЕ = OD. Так как ВО – общая гипотенуза, то прямоугольные треугольники ОЕВ и ODB равны (утверждение 1). Тогда BE = BD, откуда следует, что ∆ABD = ∆СВЕ (ABC – общий). Отсюда АВ = ВС. С другой стороны, ABC = 90° – BAD = AOE = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний.

Критерии. Если верно доказано утверждение 1 – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. На каждом уроке математики учитель даёт за лучшее решение задачи одному ученику пять конфет, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 39 конфет, Коля – 42, а Вася – 47 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок математики, участвуя в олимпиаде по физике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

Ответ: Коля.

Решение. После каждого забега разность количества конфет, полученных любыми двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 4 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 4 (утверждение 1). А из данных чисел 39, 42, 47 разность, делящуюся на 4, дают только числа 39 и 47. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 42 конфеты.

Критерии. Если верно доказано утверждение 1 – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.