Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла.

Оценка: определяют результаты своей работы на уроке

Синтез: используют тригонометрические функции в решении задач

Анализ: изучают тригонометрические функции

Применение: демонстрируют применение синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Понимание: обсуждают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Знание: рассказывают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Учебно-воспитательные задачи:

Образовательная:

Познакомиться с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, обеспечить усвоение новых знаний по данной теме, сформировать навыки применения знаний по данной теме

Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, формирование алгоритмического мышления, расширение кругозора

Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, возбуждать интерес к предмету, побуждать учащихся к применению полученных знаний

Результаты обучения:

Учащиеся знают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

Учащиеся умеют: применять тригонометрические функции в решении задач, ясно выражать мысли, участвовать в дискуссии, умеют слушать и слышать

Этапы урока

Содержание этапа

Оргмомент.

Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению

Приветствие

Проверка подготовленности к уроку

Организация внимания школьников

Ознакомление с планом проведения урока

Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы

Выявление степени усвоения заданного учебного материала

Ликвидация обнаруженных недостатков.

Математический диктант

Данные углы выразите в радианах:140⁰, 220⁰, 56⁰, 225⁰, 440⁰, 24⁰, 1500⁰, 330⁰

Выразите в градусах: 0,8π, 2π/5, 3π/4,5π/8, π/4, 7π/8

Вызов.

Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия.

Сообщение темы урока

Формулируют цели: сформировать навыки применения знаний по данной теме

Актуализация знаний и умений

Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т.д. 

- Мы с вами уже встречались с тригонометрическими функциями в 8 классе на теме «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Сейчас вспомним, что же нам о них известно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с острым углом А.

Что будет называться синусом острого угла А?

(Синусом острого угла А прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Косинусом острого угла А?

(Косинусом острого угла А прямоугольного треугольника называется

отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Тангенсом острого угла А?

(Тангенсом острого угла А прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему)

Предлагаю вам вспомнить значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 40⁰и 60⁰, а так же применение уже сказанных определений.

Осмысление

Изучение нового материала.

Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации

Введём прямоугольную систему координат Оху и построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Назовём её единичной окружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную окружность в точке М(х;у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс.

Если угол α острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем sin α =MD/OM, аcos α = OD/OM.

Но OM = 1, MD = у, OD = х, поэтому sin α = у, cos α = х. Итак, синус острого угла α равен ординате у точки М, косинус угла α- абсциссе х точки М. Для определения прямого, тупого, равного 0 или развернутого , так же используются эти формулыsin α = у, cos α = х.

Таким образом, для любого угла α из промежутка 0°≤ α ≤180 синусом угла αназывается ордината у точки М, а косинусом угла α – абсцисса х точки М.

Тангенсом угла α (α≠90⁰) называется отношение ординаты у к абсциссе х точки М. Т.е. tg a = y/x

Основное тригонометрическое тождество.

На рисунке изображены система координат Оxy и единичная полуокружность DСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид X² + Y² = 1. Подставив сюда выражения для x u y из формулы: sin = x,cos = y, получим равенство sin²a+ cos²a = 1. Данное равенство называется Основным тригонометрическим тождеством. В 8 классе мы с вами доказывали его для острых углов. Справедливы также следующие тождества , при 0°≤ α ≤90⁰ , , , при 0°≤ α ≤180⁰

Знаки sin a.

Так как sin a = y /R, то знак sin a зависит от знака y. В 1 и 2 четвертях y0, а в 3 и 4 четвертях y sin a0, если а является углом 1 или 2 четверти, и sin a

Знаки cos a.

Знак cos a зависит от знака x, так как cos a = x/R. В 1 и 4 четвертях x0, а во 2 и 3 четвертях x cos a0, если а является углом 1 или 4 четверти, и cos a

Знаки tg a и ctg a.

Так как tg a = y/x, а ctg a = x/y, то знаки tg a и ctg a зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a0 и ctga0, если а является углом 1 или 3 четверти; tg a ctg a

Формулы для вычисления координат точки.

Пусть задана система координат Oxy и дана точка А(x;y). Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол a: М – точка пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. x = cosa, y = sina, М(cosa; sina) Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. {cosa;sina} Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. {x;y} По лемме о коллинеарных векторах: , поэтому х=OA ∙ cosa, у=OА ∙ sina

Закрепления новых знаний и умений.

Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения

Дайте определения тригонометрических функций.

Какой четверти принадлежат углы120^0,, 285⁰,3π/8, 12π/5?

Чем различаются числовая ось и числовая окружность?

Проверка новых знаний

Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления

Работа с дополнительным учебником Абылкасымова стр126 уровень А № 277, 278

Уровень В №279,280

Коррекция знаний.

Задачи: скорректировать выявленные проблемы

Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков

Индивидуальное задание.

Повторное разъяснение учителя.

Подведение итогов. Рефлексия.

Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса

Мобилизация учащихся на рефлексию

Дети на доске заполняют «рефлексивную мишень», оценивая

1. свою деятельность

2. деятельность учителя

3. деятельность учащихся.  

.Выставление оценок.