Системы линейных уравнений

Системы

линейных уравнений

2.1. Основные понятия

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

- переменные

- коэффициенты системы

- свободные члены

Решением системы линейных уравнений называется совокупность значений неизвестных, которая при подстановке в систему обращает все уравнения в тождества

Пример 1

Решением системы

являются значения : х 1 = 1; х 2 = -2

Система линейных уравнений называется cовместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения

Е сли решение одно –система определенная , если больше чем одно- неопределенная

Две системы называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.

Пример эквивалентных систем:

2.2. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Здесь D – определитель, полученный из коэффициентов в левой части системы

2.2. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

D 1 – определитель, полученный при подстановке свободных членов из правой части системы в качестве коэффициентов перед x 1 в левой части системы.

2.2. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

D 2 – определитель, полученный при подстановке свободных членов из правой части системы в качестве коэффициентов перед x 2 в левой части системы.

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение

1. Находим определитель системы:

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение

1. Находим определитель системы:

2. Находим определитель D 1 подставляя перед x 1 значения из правой части системы:

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение

3. Находим определитель D 2 подставляя перед x 2 значения из правой части системы:

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение

4. Находим значение x 1 по формуле Крамера:

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение

5. Находим значение x 1 по формуле Крамера:

Проверка

X 2 = -3

X 1 = 2

Пример 2.

Решить систему уравнений:

Проверка

X 2 = 2

X 1 = -4

Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными

1.Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными ,то система совместна и имеет единственное решение:

Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными

2. Если и хотя бы один из определителей

отличен от нуля, то система уравнений несовместна

3.Если все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений.

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

+

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

Решить систему уравнений:

Пример 3.

1. Находим определитель системы методом треугольников

Пример 3.

Решить систему уравнений:

1. Находим определитель системы методом треугольников

Система определенная, имеет решение.

D = -2

D = -2

D 1 = -6

D = -2

D 1 = -6

D 2 = 2

D = -2

D 1 = -6

D 2 = 2

D 3 = -4

Проверка

X 1 = 3

X 2 = -1

X 3 =2