Системы счисления. Двоичная система

Учитель:

Известно, что для записи информации о количестве объектов используются числа. При этом в своем историческом развитии человечество изобретало множество способов или, так называемых, «систем счисления». В них указаны правила записи чисел и арифметических действий с ними.

Под числом мы будем понимать величину, а не его символьную запись.

Числа записываются с использованием особых знаковых систем. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью 10 всем хорошо известных цифр, назовите их.

(ответ: «0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9»)

Учитель:

Система счисления - совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. Рассмотрите схему, представленную на слайде.

Пример непозиционной системы (расположение символа в записи не изменяет его значения) - римская. Это самая распространенная непозиционной системой счисления, встречающаяся и в наши дни.

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается три раза и, в каждом случае она обозначает одну и ту же величину – число 10. Три раза по десять в сумме дают 30.

Учитель:

На экране показываются 4 слайда, рассказывающие о видах непозиционных систем счисления: единичная, древнеегипетская, вавилонская, римская.

В качестве иллюстраций демонстрируются рисунки и слайды: наскальная живопись (палеолит), папирус, глиняные дощечки. Звучит мелодия древности (арфа).

Учитель:

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в Древней Руси. При записи чисел над буквами ставился специальный знак «~» – титло.

На экране – изображение страницы азбуки древней Руси и отрывок из летописи с изображениями чисел.

Удобны ли алфавитные системы?

(ответ: 1. Нет, так как с их помощью можно записать только целые числа.

2. Нет, так как с их помощью можно записать числа в пределах числа букв алфавита, т.е. не больше нескольких десятков.)

Учитель:

Правильно, числа больших порядков нельзя записать только с помощью только букв алфавита. Правда, славяне, как и греки умели записывать и числа, превосходящие 1000. Для этого к алфавитной системе добавлялись новые обозначения – специальные знаки.

Посмотрите на экран: знак «», стоящий перед цифрой внизу слева, обозначал кратность 1000, а цифра, обведенная в кружок без титло (показывает на плакате) – 10 000 – называлась «тьма». 10 тем называли «легион», 10 легионов составляли «леодр». Самая большая из величин называлась «колода», и равнялась она 10⁵⁰. Считалось, что «более сего несть человеческому уму разумевати». Древнерусская система счисления была наиболее совершенной из всех алфавитных систем.

Изобретение позиционной системы записи оспаривается Вавилоном и Индией. Вавилонская система была шестидесятеричной. Однако в этой системе не было нуля, что вызывало определенные трудности. Индийские символы для десятичной позиционной системы содержали символ 0. Это было удобно. Арабские торговцы переняли индийскую запись счета, а от арабов пришли цифры в Европу, поэтому у нас эти цифры называют арабскими.

В основе системы счисления лежит какое-то число, которое называется основанием системы. В общей классификации оно обозначается английской буквой p. Для человека более естественна система счисления с основанием 10 (10 пальцев на руках). Но в жарких странах люди ходили босиком и для счета могли пользоваться еще и пальцами ног. Так в древних системах счисления основанием чаще всего служило одно из чисел 5, 10 или 20. Очень удобной системой счета была система с основанием 12 (12 фаланг пальцев одной руки). Это связано с тем, что у числа 12 много делителей: 2, 3, 4, 6, а у 10 только 2 и 5. Кстати, в некоторых европейских языках сохранились слова обозначающие 11 и 12.

Каждое число можно изобразить как в десятичной, так и в двоичной системе. Для этого достаточно вспомнить, что запись любого числа в какой-либо системе счисления есть сумма степеней ее основания.

555₁₀ = 510² + 510¹ + 510⁰

Для перевода из двоичной системы в десятичную можно воспользоваться позиционной записью числа, как суммы степеней основания:

10010010₂ = 12⁷ + 0 + 0 + 12⁴ + 0 + 0 + 12¹ + 0 = 146₁₀

Запишите для самостоятельно решения несколько примеров:

10110₂ 111101₂ 110011₂

Решение проверяется в соответствии с действием слайда (анимация).

10110₂ = 02⁰ + 12¹ + 12² + 02³ + 12⁴ = 22₁₀

111101₂ = 12⁰ + 02¹ + 12² + 12³ + 12⁴ + 12⁵ = 61₁₀

110011₂ = 12⁰ + 12¹ + 02² + 02³ + 12⁴ + 12⁵ = 51₁₀

Учитель:

Спасибо, все правильно.

Для обратного преобразования ( перевод их десятичной системы в двоичную) необходимо десятичное число последовательно делить на 2, пока не получим окончательную 1 (причем “последней единицей” процесс заканчивается всегда) и запишем остатки от деления. Двоичная форма представления данного числа получается при записи остатков снизу вверх, начиная с “последней” единицы:

остаток

146 : 2 = 73 0

73 : 2 = 36 1

36 : 2 = 18 0

18 : 2 = 9 0

9 : 2 = 4 1

4 : 2 = 2 0

2 : 2 = 1 0 146₁₀ = 10010010₂

Рассмотрим еще пример:

остаток

67 : 2 = 33 1

33 : 2 = 16 1

16 : 2 = 8 0

8 : 2 = 4 0

4 : 2 = 2 0

2 : 2 = 1 0 67₁₀ = 1000011₂

Запишите для самостоятельно решения несколько примеров:

168₁₀ 241₁₀ 77₁₀

Решение проверяется в соответствии с действием слайда (анимация).

168₁₀ = 10101000₂ ; 241₁₀ = 11110001₂ ; 77₁₀ = 1001101₂

Учитель:

Класс делится на 7 групп (по 3-4 человека). Каждая группа получает задание:

1. Укрупнение логической структуры изученного материала путем объединения его элементов в классификационную схему.

2. Исследовательская, творческая деятельность в ходе решения проблемной задачи.

3. Практическая самостоятельная работа в соответствии с заданным алгоритмом решения.

Решение каждого задания проверяется по соответствующему слайду.

Учитель:

На этом урок заканчивается. Итак, мы сегодня познакомились с представлением числовой информации с помощью различных систем счисления. Разобрали правила перевода из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.

Компьютер обрабатывает дискретную информацию, представленную в виде импульсов электрического тока, соответствующих 1 и 0. Создатели ЭВМ остановились именно на двоичной кодировке (а не “три” к примеру) из-за удобства ее применения в электронных схемах, т.е. машина при цифровой обработке информации оперирует исключительно двоичными знаками - битами, результат является также двоичным числом.

Поэтому при работе на компьютерах десятичную систему используют всюду, где требуется установить с человеком контакт (при вводе и выводе данных). Все операции по переводу из десятичной системы счисления в двоичную и обратно ЭВМ осуществляет самостоятельно, и пользователь этого не замечает.

Вы уже знаете, что каждое число можно изобразить как в десятичной, так и в двоичной системе. Для этого достаточно вспомнить правила перевода из одной системы счисления в другую.

Объявление результатов за работу на уроке.