Способы извлечения квадратного корня

Нахождение приближённого значения арифметического квадратного корня.

Существует несколько способов извлечения арифметического квадратного корня. Рассмотрим некоторые из них.

I. Графический метод (очень грубое приближение).

Строим график функции . На оси Ох отмечаем необходимое число и находим соответствующее значение у.

Из рисунка видно, что .

II. Метод оценки (трудоёмкий метод):

Найдём, например, приближённое значение с тремя знаками после запятой. Так как , то . Дробная часть значения корня находится подбором. . Так как , то уточняем до сотых тем же способом: . Так как , то уточняем 4,12 до тысячных. . Так как , то делаем вывод, что приближённое значение равно . Таким же образом можно уточнить значение корня с любым количеством знаков после запятой.

III. Метод Герона. Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближённого значения квадратного корня из числа х. Число х они представляли в виде суммы , где ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой: . Приведём пример: .

IV. Арифметический метод (удобен для целых, не очень больших чисел).

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 4²

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так: вычислить

17 − 1 = 16

16 − 3 = 13

13 − 5 = 8

8 – 7 = 1

Выполнено 4 действия, целая часть квадратного корня из числа 17 равна 4.

Вычислить

121 – 1 = 120

120 – 3 = 117

117 – 5 = 112

112 – 7 = 105

105 – 9 = 96

96 – 11 = 85

85 – 13 = 72

72 – 15 = 57

57 – 17 = 40

40 – 19 = 21

21 – 21 = 0

Выполнено 11 действий, значит .

V. Метод вычисления квадратного корня «столбиком» (удобен для любых чисел с любой точностью).

Вычислить .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41. Чтобы получить первую цифру извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани.

Затем из первой слева грани вычитаем , к остатку сносим всю вторую грань.

Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на неё число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), проверяют частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.

Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).

Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ .

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечётное число десятичных знаков, из неё точно квадратный корень не извлекается.

1. Извлеките квадратный корень из числа:

32; 32,45; 249,5; 0,9511

а) с точностью до 0,1;

б) с точностью до 0,01;

в) с точностью до 0,001.

1. Извлеките квадратный корень из числа:

2; 3; 5

а) с точностью до 0,1;

б) с точностью до 0,01;

в) с точностью до 0,001.

1. Сравните числа:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1. Вычислите с точностью до 0,01:

.

3