Средняя линия трапеции

МБОУ «Воргинская средняя школа» 2019-2020гг

«Прикладная математика»

Выполнила: Прокопенкова Марина, 8 А класс,

МБОУ «Воргинская средняя школ»

Руководитель: Суслов Григорий Александрович

учитель математики МБОУ «Воргинская средняя школа»

«Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли…»

В.Произволов

Дано : ABCD –равнобедренная трапеция, FE -высота, FE= а AC ┴ BD

Найти : MN

FE =FO+OE= а

F

C

D

FO+OE=DF+AE,

DF+AE =½( AB + CD )= a

M

N

MN = 1/2(AB+CD)

B

MN=a

A

E

«А есть ли еще средние линии

в трапеции?»

Цель исследования:

установить, сколько средних линий имеет трапеция

Обьект исследования: трапеция

Предмет исследования: средние линии трапеции

Задачи исследования:

• подобрать данные о средних линиях трапеции
• изучить особенные особенности средних линий в трапеции
• исследовать задачи о средних линиях трапеции, действующие в математической литературе
• разобрать конкретные вопросы о средних линиях трапеции

Гипотеза: Если знать в совершенстве основные особенности средних линий трапеции, то их применение будет хорошим подспорьем ученикам в практическом направлении материала

Актуальность, новизна и практическая значимость:

Наше исследование актуально и ново, поскольку в школьной программе по математике данное направление не рассматривалось более глубоко и основательно.

В процессе собственных информационных поисков получены не известные факты для школьников о второй средней линии трапеции.

Данные исследования будут полезны при подготовке к математическим олимпиадам и конкурсам, более углубленного изучения геометрии, а также поможет обычным школьникам стать более успешными в математике, поскольку данная тема является важной при подготовке к ОГЭ.

Вторая средняя линия трапеции :

MN= ½ ( AB + CD )

F

C

D

B

A

E

В точке, в которой пересекаются две средние линии,

они делятся пополам

K

KO = OS

MO = ON

B

KN || BD и KN =½ BD

C

MS || BD, MS =½ BD

МК || АС, MK =½ AC

O

NS || AC, NS =½ AC

A

S

D

Диагонали трапеции и вторая средняя линия

пересекаются в одной точке

~

Дано : ВК=КС

Доказать : AS=SD

~

K

C

B

BK=KC

O

AS=SD

D

A

S

Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны

△ A O D △ B O C

~

OK = ½ (ОВ+ОС),

OS = ½ ( OA + OD ),

OS = ½ ( k ∙ OB + k ∙ OC )= ½ k ( OB + OC )= k OK

O OS

Средние линии равнобедренной трапеции перпендикулярны

MN FE

В равнобокой трапеции вторая средняя линия перпендикулярна ее основаниям

FE AB

FE CD

F

C

D

Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны

N

M

AC BD

B

A

E

в) N C B NF = MF – MN = (a – b)/2 D A F " width="640"

M

Задача 1. (Кушнир И. А.)

В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания AD и BC соответственно равны а и в (а в)

N

C

B

NF = MF – MN =

(a – b)/2

D

A

F

Задача 2 (Кушнир И.А.)

Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции

Дано: ABCD – трапеция, EF – вторая средняя линия, СN EF, AM EF.

Доказать:

E

B

C

N

Доказательство: Рассмотрим △ AEF и△ ECF

M

D

A

F

Задача 3. (Кушнир И. А.)

В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований

AD, BC – гипотенузы прямоугольных

△ AMD и △BMC

Решение: AF=FD, BN=NC

M

C

N

B

D

A

F

FN =½ AD –½ BC =½ (AD – BC)

Задача 1 (составлена самостоятельно)

Верно ли утверждение:

если прямая проходит через точку пересечения диагоналей

и середину одного основания трапеции, то и второе основание

она делит пополам?

K

C

B

Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке

O

D

A

S

Задача 2 (составлена самостоятельно)

В трапеции ABCD вторая средняя линия KS = 4 см, основания равны 12 см и 8 см, угол между средними линиями 30º.

Найти площадь трапеции.

△ KHS - прямоугольный

K

C

B

N

O

M

KH =2 см

S

H

A

D

Задача 3

С помощью чертежной линейки построить вторую среднюю линию трапеции

K

B

C

O

D

A

S

Задача 4

Найдите среднюю линию трапеции АВС D , если ВС= 1 6см и ее вторая средняя линия делится диагональю в отношении 1:2.

Рассмотрим ∆КОС и ∆ SOA . Они подобны по стороне и прилежащим углам. Значит Так как точка К середина отрезка ВС, то КС= 8 см, а А S = 1 6 c м. Следовательно, AD = 3 2 c м.

C

K

B

O

A

D

S

Задача 5 Вторая средняя линяя равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.

△ АОD и △ ВОС равнобедренные

ОМ и ОК медианы

M

KM ┴BC, KM┴AD

ВЫВОДЫ:

1. В процессе собственных информационных поисков получены не известные факты для школьников о второй средней линии трапеции.

2. Изучены особенные свойства средней линии

3. Рассмотрены практическое решение

математических задач с использованием свойств средней линии трапеции.

4. Составлены собственные математические задачи и их решение.

5. Получены новые для меня знания и умения, повысилась заинтересованность к изучению математики.

«Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли…»

В.Произволов