Свойства прямоугольного параллелепипеда

Свойства прямоугольного параллелепипеда

К учебнику Л.С.Атанасяна

Геометрия 7 - 9, Глава XIV, п. 127, 9 класс

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Прямоугольный параллелепипед

C 1

D 1

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 –

прямоугольный параллелепипед

( все грани - прямоугольники)

A 1

B 1

ВА, ВС, ВВ 1 – измерения прямоугольного параллелепипеда

ВА - длина,

ВС – ширина

ВВ 1 – высота

D

C

B

A

Свойства диагонали

прямоугольного параллелепипеда

D 1

C 1

d

B 1

A 1

b

a

d 2 = a 2 + b 2

BD 1 2 = BA 2 + BC 2 + BB 1 2

D

C

B

A

Свойство диагонали

прямоугольного параллелепипеда

Доказать:

BD 1 2 = BA 2 + BC 2 + BB 1 2

D 1

C 1

B 1

A 1

BD 1 2 = BD 2 + DD 1 2

BD 2 = AB 2 + AD 2

BD 1 2 = AB 2 + AD 2 + DD 1 2

C

D

AD = BC, DD 1 = BB 1

B

A

BD 1 2 = AB 2 + BC 2 + BB 1 2

Объём прямоугольного параллелепипеда

a

D 1

C 1

A 1

B 1

S = a ∙ b

b

Площадь прямоугольника равна произведению его измерений

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений

D

C

B

A

V = BA ∙ BC ∙ BB 1

Объём прямоугольного параллелепипеда

α ǁ β

1

S 1

S 2

1

β

b

1

α

а

1

S 2 = 1

S 1 = a ∙ b

S 1 = a b ∙ S 2

V 2 = 1

По принципу Кавальери V 1 = a b ∙ V 2

V 1 = a b ∙ 1 = a b

Вывод: Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями а , b и 1 равен a b

Объём прямоугольного параллелепипеда

α ǁ β

S 1

S 2

β

b

b

с

1

α

а

а

S 1 = a ∙ с

S 2 = а

V 2 = a b

S 1 = с ∙ S 2

V 1 = а b с

По принципу Кавальери V 1 = с ∙ V 2

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений

V = a b c

c

a b = S, с = h

V = S h

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

S

b

a

Задача (№1193)

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:

d

Задача (№1194)

Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба

d

а

Задача (№1195)

Тело R составлено из двух тел P и Q, имеющих соответственно объёмы V 1 и V 2 . Выразите объём V тела R через V 1 и V 2 если: а) тела P и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела P и Q имеют общую часть, объём которой равен ⅓V 1

Задача (№1196) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда

18

8

12

х

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , если AC 1 = 13, BD = 12, BC 1 = 11

Задача (№1197)

C 1

D 1

АС = ВД=12

A 1

B 1

5

D

C

B

A

Объём призмы

α ǁ β

h

S

S

h

β

S

S

α

S 2 = S

S 1 = S

V 2 = S h

S 1 = 1 ∙ S 2

V 1 = S h

По принципу Кавальери V 1 = 1 ∙ V 2

Объём призмы

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту

h

S

α

V = S h

Задача (№1199). Найдите объём прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 , если ∠ВАС = 120 0 , АВ = 5 см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см 2 .

В 1

С 1

А 1

С

В

А

Задача (№1200 а). Найдите объём правильной 3-угольной призмы, все рёбра которой равны а.

Формулы для решения задачи:

С 1

В 1

ΔАВС – равносторонний,

АВ = ВС = АС = а

∠ А = ∠В = ∠С = 60 0

А 1

а

С

В

А

Задача (№1200 б). Найдите объём правильной 4-угольной призмы, все рёбра которой равны а.

В 1

С 1

АВСD – квадрат,

АВ = ВС = CD = АD = а

АА 1 = а

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – куб

А 1

D 1

С

В

а

А

D

Задача (№1200 в). Найдите объём правильной 6-угольной призмы, все рёбра которой равны а.

Формулы для решения задачи:

А 3

А 4

А 2

Основание призмы – правильный шестиугольник, а 6 – его сторона, а 6 = а

В 1 А 1 – высота призмы h, h = а

А 1

А 5

В 3

А 6

В 4

В 2

В 1

В 5

В 6

Задача (№1200 г). Найдите объём правильной 8-угольной призмы, все рёбра которой равны а.

Формулы для решения задачи:

В 4

В 3

В 5

В 2

В 6

Основание призмы – правильный восьмиугольник,

а 8 – его сторона, а 8 = а

В 1 А 1 – высота призмы h, h = а

В 1

В 7

А 4

В 8

А 3

А 5

А 2

А 6

А 1

А 7

А 8

Задача (№1200 г). Найдите объём правильной 8-угольной призмы, все рёбра которой равны а.

Формулы для решения задачи:

В 4

В 3

В 5

В 2

В 6

В 1

В 7

В 8

А 4

А 3

А 5

А 2

А 6

А 1

А 7

А 8