Урок геометрии "Прямоугольный параллелепипед"

Государственное общеобразовательное казенное учреждение Амурской области

«Общеобразовательная школа при учреждениях исполнения наказания»

Урок геометрии в 10 классе:

«Прямоугольный параллелепипед»

Подготовила А.А. Шведова

учитель математики

с. Среднебелая

2019 г.

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ:

« ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»

План урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация знаний.

ІІІ. Постановка целей урока.

ІV. Фронтальный опрос.

V. Объяснение нового материала.

VІ. Применение свойств параллелепипеда при решении задач.

VІІ. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы: частично-поисковый.

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, работа в парах, самопроверка, самооценка.

Оборудование: мультимедийный проектор, девиз урока, план построения прямоугольного параллелепипеда, модели цветных прямоугольных параллелепипедов, линейка, тест на карточках.

І. Организационный момент (слайд 1)

Девиз нашего урока: «Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому»

Дьёрдь Пойа

венгерский, швейцарский и американский математик

На уроках геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур.

ІІ. Актуализация знаний (слайд 2)

Рассмотрим предметы: строительный кирпич, кубик, микроволновая печь.

Что их объединяет? Правильно, эти предметы объединяет одинаковая форма. (слайд 3)

Сегодня на уроке мы с вами будем говорить о прямоугольном параллелепипеде. В тетрадях записываем число и тему урока: «Прямоугольный параллелепипед». (слайд 4)

ІІІ. Постановка целей урока. (слайд 5)

Ребята, какие цели мы поставим перед собой?

Цели урока:

1. образовательные: развитие исследовательских навыков, ввести понятие прямоугольного параллелепипеда, рассмотреть свойства прямоугольного параллелепипеда, показать их применение при решении задач.

2. развивающие: уметь самостоятельно делать выводы, развивать математическую речь и логику учащихся.

3. воспитательные: воспитывать аккуратность в построении пространственных фигур, умение работать в группе, помогать товарищу, воспитывать коммуникативные умения и навыки, адекватную самооценку.

ІV. Фронтальный опрос.

Для того чтобы перейти к изучению нового материала, мы с вами должны вспомнить и повторить основные понятия параллелепипеда.

Какая поверхность называется параллелепипедом? (Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях, и четырёх параллелограммов, называется параллелепипедом.) (слайд 6)

Как называются параллелограммы, из которых составлен параллелепипед? (Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями).

Как называются стороны граней? (ребра)

Сколько граней имеет параллелепипед? 6 (слайд 7)

Как обозначается параллелепипед?

Сколько вершин имеет параллелепипед? 8

Сколько ребер имеет параллелепипед? 12 (слайд 8)

Как называются грани, не имеющие общих рёбер? (противоположными), а имеющие общее ребро? (смежными).

(Две противоположные грани называются основаниями, остальные - боковыми)

Что можно сказать о противоположных гранях параллелепипеда? (Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны) (слайд 9)

Как называются две вершины, не принадлежащие одной грани? (противоположными).

Как называется отрезок, соединяющий противоположные вершины? (диагональю).

Сколько диагоналей имеет параллелепипед? 4 (слайд 10)

Давайте вспомним виды параллелепипеда: наклонный (боковые грани не перпендикулярны основаниям), прямой (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) (слайд 11)

V. Объяснение нового материала

Работаем в паре. У Вас на столе стоит геометрическая фигура. (приложение 2) Является ли она прямым параллелепипедом? (да)

Выделите основания параллелепипеда, определите вид четырёхугольника. Как он называется? (Прямоугольник)

Параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники, называется прямоугольным (записываем в тетрадь).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые рёбра равны называется кубом. Теперь мы знаем все виды параллелепипедов. (слайд 12)

Про основания мы уже сказали, что они – прямоугольники, а боковые грани какой вид четырёхугольника имеют? (прямоугольники) (слайд 13)

Свойство 1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. (слайд 14)

Назовите смежные грани. ( АВВ₁А₁ и АВСD).

Докажите, что смежные грани перпендикулярны. (Боковые рёбра перпендикулярны основанию, а через ребро проходит грань, тогда по признаку перпендикулярности двух плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны).

Свойство 2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

Назовите хотя бы один двугранный угол прямоугольного параллелепипеда.

Классная комната является прямоугольным параллелепипедом. В обыденной практике, говоря о размерах комнаты, какие слова мы используем? Слова «длина, ширина, высота» (слайд 15)

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Сравнение планиметрии и стереометрии.

Назовите планиметрическую фигуру, пространственным аналогом которой является прямоугольный параллелепипед. Визуальное сходство фигур поможет нам сформулировать свойства прямоугольного параллелепипеда. (слайд 16)

Вспомним чему равен квадрат диагонали прямоугольника? (квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений), тогда по аналогии чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда? (квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений). Давайте докажем это утверждение.

(слайд 17)

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

Доказать: AC₁²=AB²+AD²+AA₁²

Доказательство:

1. D ACC₁ – прямоугольный. По т. Пифагора AC₁²=AC²+CC₁² .

2. D ABC – прямоугольный. По т. Пифагора AC²=AB²+BC² .

3. Из 1 и 2 следует, что AC₁²=AB²+BC²+CC₁² или AC₁²=AB²+AD²+AA₁² .

Действительно квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Мы доказали свойство прямоугольного параллелепипеда связанное с его измерениями.

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны АС1=BD1=B1D=A1C

VІ. Применение свойств параллелепипеда при решении задач

Задача 1. (слайд 18)

Самостоятельная работа. На столах раздаточный материал – прямоугольные параллелепипеды. Измерьте длину, ширину, высоту прямоугольного параллелепипеда. Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Проведите самопроверку по образцу.

Физкультминутка.

Кабинет, в котором мы занимаемся, имеет форму параллелепипеда. Покажите верхнее основание, нижнее основание, боковые грани, диагонали.

Задача 2. (слайд 19)

Найдите расстояние между вершинами А и С₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

AC2²=A2D2²+D2C2²+AA2²

AC2²=2²+1²+2²

AC2²=4+1+4

AC2²=9

AC2=3

Ответ: AC2=3

Тест (слайд 20) (приложение 1)

Верны ли следующие утверждения:

1. Треугольник являться гранью прямоугольного параллелепипеда.

2. У прямоугольного параллелепипеда три пары равных граней.

3. Отрезок соединяющий противоположные вершины грани называется диагональю прямоугольного параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде два измерения.

5. Может ли гранью параллелепипеда являться квадрат?

Ответ: Нет, Да, Нет, Нет, Да

Проведите самопроверку (нет ошибок – «5», одна ошибка – «4», две- «3» )

VІІ. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Приложение 1

Приложение 2

Алгоритм построения прямоугольного параллелепипеда:

1. Построить прямоугольник заданной длины (а) и высоты (h).

2. Из каждой вершины отложить отрезок, равный половине ширины (в) под углом 45 градусов.

3. Соединить концы отрезков, причем невидимые грани – пунктирной линией.

П риложение 3

Государственное общеобразовательное казенное учреждение Амурской области

«Общеобразовательная школа при учреждениях исполнения наказания»

Урок геометрии

«Лучший способ изучить что-либо –

это открыть самому»

Дьёрдь Пойа

Подготовила А.А. Шведова

учитель математики

с. Среднебелая

2019 г.

Рассмотрим предметы

Строительный кирпич

Игральный кубик

Микроволновая печь

Эти предметы объединяет одинаковая форма

Строительный кирпич

Микроволновая печь

Игральный кубик

ТЕМА УРОКА:

«Прямоугольный параллелепипед»

Учебник геометрии стр. 53

Цели урока:

• ввести понятие прямоугольного параллелепипеда;
• рассмотреть свойства прямоугольного параллелепипеда;
• научиться применять свойства прямоугольного параллелепипеда при решении задач;
• научиться строить прямоугольный параллелепипед;
• развивать математическую речь и логику.

Определение параллелепипеда

Параллелепипед - поверхность составленная из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях, и четырёх параллелограммов

D

А

С

В

6

Элементы параллелепипеда

Сколько граней имеет

параллелепипед?

6

Параллелограммы, из которых составлен

параллелепипед называются гранями ,

их стороны – ребрами , а вершины – вершинами параллелепипеда.

6

Элементы параллелепипеда

Обозначение:

параллелепипед

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

Сколько вершин имеет параллелепипед?

ребро

D

С

А

В

8

вершина

Сколько ребер имеет параллелепипед?

12

8

Элементы параллелепипеда

D

С

А

В

Грани, не имеющие общих рёбер называются противоположными,

а имеющие общее ребро называются смежными.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

8

Элементы параллелепипеда

Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными,

например, А и С 1 .

диагональ

Отрезок, соединяющий противоположные вершины , называется диагональю параллелепипеда.

D

С

В

А

4

Сколько диагоналей имеет параллелепипед?

8

Виды параллелепипедов

НАКЛОННЫЙ

ПРЯМОЙ

боковые грани не перпендикулярны основаниям

боковые ребра перпендикулярны плоскости основания

8

Параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники, называется прямоугольным.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые рёбра равны называется кубом.

11

Прямоугольный параллелепипед

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный

параллелепипед

Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1

Боковые ребра AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 к основаниям

Отсюда следует, что AA 1 AB , т.е. боковая грань AA 1 B 1 B - прямоугольник

C 1

D 1

A 1

B 1

D

C

B

A

13

13

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

C 1

D 1

• В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
• Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

B 1

A 1

D

C

B

A

14

14

Прямоугольный параллелепипед

C 1

D 1

Длины трех ребер, имеющих общую вершину называются измерениями прямоугольного параллелепипеда

( AA1 , AB , AD)

Вместо слова «измерения» часто используют слова «длина», «ширина» и «высота».

A 1

B 1

D

C

B

A

15

15

Стереометрия

Планиметрия

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений?

В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений

b

С

В

a

d

с

d

А

D

a

b

d 2 = a 2 + b 2

d 2 =

a 2 + b 2 + с 2

16

16

D 1

C 1

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 –

прямоугольный параллелепипед

B 1

A 1

Доказать: AC 1 2 =AB 2 +AD 2 +AA 1 2

Доказательство:

1.  ACC 1 – прямоугольный.

По т. Пифагора

AC 1 2 =AC 2 +CC 1 2 .

2.  ABC – прямоугольный.

По т. Пифагора

AC 2 =AB 2 +BC 2 .

С

D

3 . Из 1 и 2 следует, что AC 1 2 =AB 2 +BC 2 +CC 1 2 или AC 1 2 =AB 2 +AD 2 +AA 1 2 .

А

В

Следствие

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

АС 1 = BD 1 =B 1 D=A 1 C

17

Практическая работа

Задача 1

1. С помощью линейки определите измерения прямоугольного параллелепипеда.

a=5 см, b=5 см, с=10 см.

• Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

d 2 = 5 2 + 5 2 + 10 2

d 2 = 25 + 25 + 100

d 2 = 150

d = √150 = √25*6=5 √6 см

Ответ: d =5 √6 см

d

с

b

a

17

Открытый банк заданий ЕГЭ

Задача 2

Найдите расстояние между вершинами А и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

AC 2 2 =A 2 D 2 2 +D 2 C 2 2 +AA 2 2

AC 2 2 =2 2 +1 2 +2 2

AC 2 2 =4+1+4

AC 2 2 =9

AC 2 =3

Ответ: AC 2 =3

19

Верны ли следующие утверждения:

1. Треугольник является гранью прямоугольного параллелепипеда.

Нет

• У прямоугольного параллелепипеда три пары равных граней.

Да

• Отрезок соединяющий противоположные вершины грани называется диагональю прямоугольного параллелепипеда.

Нет

• В прямоугольном параллелепипеде два измерения.

Нет

• Может ли гранью параллелепипеда являться квадрат?

Да

19

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

19

19