"Тела вращения. Площадь поверхности и объемы".

Открытый урок по геометрии в 11 классе на тему «Тела вращения. Площадь поверхности и объемы»

Тип урока: урок применения знаний и умений учащихся.

Цель урока: развивать  у учащихся навыки  применения теоретических  знаний  по теме «Объём цилиндра, конуса, шара» для решения задач, выявить отношение объёмов вписанных и описанных тел вращения.

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».(сл)

Ход урока.

1.Организационный момент : Приветствие. Проверка готовности к уроку.

(сл)Математический диктант:

-Выберите лишнее

а) квадрат, прямоугольник, цилиндр;

б) призма ,конус, параллелепипед;

в) шар, треугольник, параллелограмм .

ответ: цилиндр, конус, шар

Учитель: Как вы догадались, тема нашего урока будет связана с этими фигурами.

-как по другому их можно назвать?

( тела вращения) –

тема нашего урока «Тела вращения.Площадь поверхности и объемы»(сл)

2.Вызвать к доске 3 учеников, чтоб подготовиться ответить на вопросы (чертят на доске)

1) конус

2)цилиндр

3) шар

-вращением каких фигур получаем цилиндр, конус, шар?

(прямоугольника, треугольника, окружности)

3. На доске написать 3 формулы : 1) V =  S_оснн

2) V =S_оснн

3) V =  R³

И названия фигур :пирамида, прямая призма ,конус, цилиндр, , наклонная призма, шар ,прямоугольный параллелепипед, куб. (слайд)

-написать в тетрадях объемы каких фигур можно вычислить по первой , второй и третьей формулам?

Ответ: 1) пирамида, конус;

2) цилиндр, прямая призма, наклонная призма, прямоугольный параллелепипед, куб;

3) шар (сл)

Задание 1(сл)

1)Найдите объем конуса с высотой 3 см и диаметром 8 см

2)Найдите объём цилиндра, если диаметр его основания равен 10 см., а высота цилиндра 12 см. .

3) Найдите объём шара, диаметр которого равен 12 см.

Задание 2:

В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара (у доски)

В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара (в тетрадях)

-Давайте посмотрим, что у вас получилось?

Учитель записывает на доске результаты.

-Чему равно отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара?

Вывод: отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара равно 3:2.

Это знаменитая теорема Архимеда: «Объём равностороннего цилиндра в полтора раза превышает объём вписанного в него шара».(сл)

Сам Архимед так утверждал: «Для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого шара, а высотой — прямую, равную диаметру шара, и сам будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности шара». (сл)

Историческая справка

Архимед — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. Задачи на вычисление объёмов геометрических тел интересовали учёных – математиков ещё с древности. Этим открытием он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета, благодаря чему через  200 лет в Сиракузах была найдена могила Архимеда. 

 Устно.

-Объём шара вписанного в цилиндр равен 40см3. Чему равен объём цилиндра? (Ответ: 60 см³)

-Объём цилиндра равен 120. Найдите объём вписанного в него шара.( Ответ: 80.)

Задание 3:

-Рассмотрим ещё одну зависимость объёмов тел вращения.

Вывод: Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.(сл.)

Устно.

1.Объём цилиндра равен 30. Чему равен объём конуса с таким же основанием и высотой?

Ответ: 10.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 21.

Математический диктант.(сл)

1. Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если его высоту увеличить в 2 раза?

2. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 1,5 раза?

3. Во сколько раз уменьшится объём шара, если его радиус уменьшить в 3 раза?

4. Что произойдёт с объёмом цилиндра, если радиус цилиндра увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 5 раз?

5. Что произойдёт с объёмом конуса , если его высоту увеличить в 8 раз, а радиус основания уменьшить в 4раза?

Задание 4( задания ЕГЭ):

1): В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?(сл)

2): В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.(сл)

3): Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 60 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.(сл)

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Высота цилиндра равна 5 см, а диагональ осевого сечения – 13 см. Найдите объем цилиндра.

2. Найдите объем конуса, если его образующая равна 15 см, а диаметр его основания – 18 см.

3. Площадь сечения шара, проходящего через его центр (большого круга) равна 9π см². Найдите объем шара.

4. *На расстоянии 4 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 6π см. Найдите объем шара.

5. *Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 8 см, а высота сегмента – 3 см.

Вариант 2

1. Радиус цилиндра равен 4 см, а диагональ осевого сечения – 10 см. Найдите объем цилиндра.

2. Найдите объем конуса, если его образующая равна 17 см, а высота – 15 см.

3. Длина окружности сечения, проходящего через центр шара (большой окружности), равна 8π см. Найдите объем шара.

4. *Сечение шара, удаленное от его центра на 3 см, имеет площадь 16π см². Найдите объем шара.

5. *Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота сектора – 2 см.

Подведение итогов. Рефлексия.

Домашнее задание.