Тема: «Второй признак подобия треугольников»

Тема: «Второй признак подобия треугольников»

Продолжительность: 40 мин
Цель: сформировать понимание второго признака подобия треугольников, умение 

применять его при решении задач.

Ход урока:

1. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие, проверка готовности класса.

Сегодня изучим второй способ доказать подобие треугольников — через две стороны и угол между ними. Научимся применять его в задачах.

2. Актуализация знаний (7 мин)

Фронтальный опрос:

• Какие треугольники называются подобными? (У них соответственные углы 

равны, а стороны пропорциональны.)

• Сформулируйте первый признак подобия треугольников. (Если два угла одного 

треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие 

треугольники подобны.)

• Что означает пропорция  ​? Как найти неизвестный член?

• Как проверить, пропорциональны ли отрезки AB, CD, A1​B1​, C1​D1​?

Устное задание:
На доске — два треугольника с обозначенными углами:

• △ABC:   A = 50  ∠B = 60 ;

• △A₁​B₁​C₁​:∠A₁​=50 ,∠C₁​=70 .

Вопрос: подобны ли треугольники? Почему?
Решение:

• В △ABC:∠C=180∘−50∘−60∘=70∘.

• ∠A=∠A1​=50∘, ∠C=∠C1​=70∘ → по первому признаку, △ABC∼△A1​B1​C1​.

Вывод: первый признак опирается на равенство углов. А можно ли доказать подобие, 

зная стороны и угол?

3. Изучение нового материала (12 мин)

Шаг 1. Постановка проблемы

• Вопрос: «Даны два треугольника. Известно, что две стороны одного 

пропорциональны двум сторонам другого, и угол между этими сторонами равен. Достаточно ли этого для подобия?»

• Ученики высказывают предположения. Учитель подчёркивает: это не очевидно, 

требуется доказательство.

Шаг 2. Формулировка второго признака

Второй признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники 

подобны.

Запись на доске (символически):
Пусть в △ABC и △A1​B1​C1​:

1. 

2. ∠A=∠A1​.
   Тогда △ABC∼△A1​B1​C1​.

Шаг 3. Доказательство (кратко, с опорой на чертёж)

Дано:  ​, ∠A=∠A1​.
Доказать: △ABC∼△A1​B1​C1​.

План доказательства (учитель комментирует, ученики следят по чертежу):

1. Построим △AB2​C2​, такой что ∠A=∠A1​, AB2​=A1​B1​, AC2​=A1​C1​.

2. Тогда △AB2​C2​≅△A1​B1​C1​ (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из условия  → B2​C2​∥BC (по обобщённой теореме Фалеса).

4. Значит, ∠AB2​C2​=∠ABC, ∠AC2​B2​=∠ACB → △ABC∼△AB2​C2​ (по первому признаку).

5. Так как △AB2​C2​≅△A1​B1​C1​, то △ABC∼△A1​B1​C1​.

Вывод: признак доказан. Теперь его можно применять без повторного доказательства.

4. Первичное закрепление (6 мин)

Работа с учебником:

• Ученики находят формулировку второго признака в учебнике, сравнивают с 

записью на доске.

• Обсуждают, чем второй признак отличается от первого (опирается на стороны и угол, а не на углы).

Устные задачи по готовым чертежам (на доске/проекторе):

1. Дано: AB=6, AC=9, A1​B1​=4, A1​C1​=6, ∠A=∠A1​=40∘. Подобны ли треугольники?
   Решение:   → пропорции равны, угол равен → подобны.

2. Дано: M1​N1​MN​=M1​K1​MK​, ∠M=∠M1​. Что можно утверждать?
   Ответ: △MNK∼△M1​N1​K1​ по второму признаку.

5. Практикум: решение задач (10 мин)

Задачи для самостоятельной работы 

1. Даны △DEF и △D1​E1​F1​. DE=10, DF=15, D1​E1​=6, D1​F1​=9, 

∠D=∠D1​=55∘. Докажите, что треугольники подобны.

1. В △ABC AB=8 см, AC=12 см, ∠A=60∘. В △MNK MN=6 см, MK=9 см, ∠M=60∘. 

Найдите отношение периметров треугольников.

1. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них равны 

углы при вершине.

6. Подведение итогов (2 мин)

Рефлексия:

• Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

• Чем он отличается от первого признака?

• В каких задачах удобно применять второй признак?

• Приведите пример из жизни, где может пригодиться подобие треугольников 

(например, измерение высоты дерева по тени).

7. Домашнее задание (1 мин)

П. 67, № 662