Теорема о трех перпендикулярах

Учитель математики МБОУ «СОШ№15» города Курска

Воскобойникова Валентина Васильевна

Методическая разработка урока по математике

Тема «Теорема о трех перпендикулярах»

Цели:

1.Проверить усвоение обучающимися определений и теорем о параллельности и перпендикулярности прямых и прямой и плоскости;

2.Сформировать понятия перпендикуляра и наклонной в пространстве;

3.Сформулировать и доказать теорему о трех перпендикулярах и признак перпендикулярности плоскостей;

4.Способствовать формированию навыков применения новых теорем при решении задач.

5.Формировать умение учиться; работать в информационном поле; отбирать нужную информацию и использовать её в профессиональной деятельности.

6.Развивать логическое мышление и математическую речь, творческие способности.

7.Воспитание культуры личности средствами математики.

Формируемые компетенции:

1. Умение организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

2. Умение осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения задач, личностного развития.

3. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования деятельности.

4. Работать в коллективе и команде.

5. Самостоятельно определять задачи личностного развития.

Технологии: компетентностно – ориентированного обучения, субъектно – деятельностная, информационно-коммуникационная технология.

Оборудование:

• Компьютер, ноутбук, доска.

• Компьютерные презентации «Перпендикуляр и наклонная», «Теорема о трех перпендикулярах»

• Опорный конспект «Расстояние между точками, расстояние между прямой и плоскостью».

• Разноуровневые карточки для организации математического диктанта.

• Рефлексивная карта «Визуализация личностного роста».

• Рефлексивная карта «Компетенции».

• Тест самоконтроля № 1.

• Разноуровневые карточки для практической работы (Приложения 1-6)

Ход занятия.

1. Математический диктант.

Карточка 1. Закончите предложения:

1) Если две различные плоскости имеют общую точку, то _______;

2) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то___________;

3) Две прямые, параллельные третьей прямой_________________;

4) Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой - нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то_________________;

5) Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются____;

6) Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то_________________________;

7) Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,_____;

8) Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются_____;

9) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то _____________________________________________;

10). Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то___.

Карточка 2.

Решите задачу. Прямые АВ, АС, АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=3 см, ВС=7 см, Ад=1,5 см.

Карточка 3.

Решите задачу. Прямые АВ, АС, АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=3 см, ВС=7 см, Ад=1,5 см.

Карточка 4.

Работа с конспектом.

Выделить в теоремах признак перпендикулярности прямой и плоскости условие теоремы и что требуется доказать. Условие красным цветом, а доказать- зеленым.

II. Устно.

1). По рисунку определите:

а) расстояние от точки С до точки К, если СО = 4 см, КО = 3 см.

б) расстояние между точками К и В, если КО=3 см, ОВ=1,5 см;

в) расстояние от точки А до прямой ВС, если АВ=10 см, ВР=6 см

2) Длина какого из отрезков МВ, МА или АВ являются расстоянием от точки М до плоскости α.

.М

В А

α

III. Объяснение нового материала.

1.Перпендикуляром, опушенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

2. Свойства перпендикуляра и наклонных. (Компьютерные презентации «Перпендикуляр и наклонная»)

1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.

3.Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

5.Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

IV. Закрепление материала.

Решение задач.

1. Из точки к плоскости проведены 2 наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

Дано: α- плоскость;

АО _┴ α; АВ и АС – наклонные; АВ=10см,

АС=17см, ОС-ОВ=9см.

Найти: ОС и ОВ.

Решение.

Пусть ОВ - х см, ОС –(х+9)см.

АОВ- прямоугольный, АО² =АВ² – ОВ² , АО² =10² – х² ;

АОС- прямоугольный, АО² =АС² – ОС² , АО² =17² – (х+9)² ;

Получим уравнение: 100- х² =289- х² – 18х – 81;

18х= 108, х = 6, ОВ = 6см, ОС= 15см.

Ответ: 6см, 15см.

V. Практическая работа (помощь консультантов).

Вывод: Если прямая, проведена на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

VI. Теорема о трех перпендикулярах.

И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной

АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA₁ перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

Теорема о трех перпендикулярах— полезный инструмент для решения задач. Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба АС₁ перпендикулярна прямой BD:

Или— что скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны:

Или — что в правильной треугольной призме прямая А₁М (где М — середина ВС) перпендикулярна ребру ВС.

VII. Закрепление материала.

Задача 1.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Доказательство:

Задача 2. (устно)

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Докажите, что АС перпендикулярно МО (О – точка пересечения диагоналей).

Задача 3. (устно)

Из вершины А прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что треугольник КВС прямоугольный.

Доказательство:

Задача 4.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

Решение:

Задача 5.

Решение:

VIII. Кроссворд.

По горизонтали:

1. Значение переменной при решение уравнений.

2. Прямые, которые пересекаются под прямым углом.

3. Какой знак нужно поставить между числами 5,3 и 5,65?

4. Основное геометрическое понятие стереометрии.

5. Равенство, содержащее переменную.

По вертикали:

6. Сколько способов задания плоскости?

7. Математическое предложение, не требующее доказательства.

8. Математическое предложение, требующее доказательства.

9. Древнегреческий ученый – математик.

Ответы: 1) корень; 2) перпендикулярные; 3) меньше; 4) прямая; 5) уравнение; 6) четыре; 7) аксиома; 8) теорема; 9) Пифагор.

IX. Рефлексия:

• Фиксация нового содержания – что нового узнали, чему научились?

• Рефлексия учебной деятельности – какую задачу ставили, какие приемы использовали для достижения результата, была ли решена поставленная задача?

• Рефлексия саморазвития - Оцените личностные приращения; повышение компетентности. Заполните рефлексивную карту.

– ознакомительный, первичное представление о новых понятиях

базовый уровень (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

– репродуктивный (выполнение деятельности по образцу,

инструкции или под руководством);

– продуктивный, повышенный уровень (планирование и

самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных

задач).

Рефлексивное дерево – визуализация результата. Покажите на дереве мудрости результаты работы: плоды – решены все поставленные задачи в полном объеме; листочки на дереве – в основном поставленные задачи решены; листочки под деревом – все поставленные задачи не решены, необходимо продолжить работу. Объясните свой выбор.

IX. Домашнее задание.

Доказать теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах, решить задачи:

1.Треугольник АВС- прямоугольный, угол АСВ=90^о.Прямая МС┴ (АВС), ,АС=4 см, МД= 3 см. Найти МС.

2.По рис.1 найдите МС.