Текст заданий олимпиады по математике в 8 классе

8 класс. Текст школьной олимпиады 2018-2019.

Вариант 1.

1) Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1 – 2 – 4 – 8 – 1 6 = 19 стало верным.

2) Постройте график уравнения

3) Докажите, что значение выражения есть число рациональное.

4) Среди 4 монет одна фальшивая, отличающаяся по весу от всех остальных. Как найти ее с помощью 2

взвешиваний на чашечных весах без гирь?

5) Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

Вариант 1. Ответы и решения.

1)

2) Графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями: и

3)

4) Обозначим монеты 1, 2, 3 и 4. Взвесим сначала монеты 1 и 2. Пусть весы будут не в равновесии. Значит фальшивая монета 1 или 2. А монеты 3 и 4 будут настоящие. Тогда взвесим монеты 1 и 3. Если весы будут в равновесии, то монета 2 – фальшивая, а если – не в равновесии, то фальшивая монета – 1.

Теперь рассмотрим случай, когда при взвешивании монет 1 и 2 было равновесие. Это означает, что монеты 1 и 2 настоящие, а фальшивая монета среди монет 3 и 4. Заменим монету 1 на монету 3. Если весы будут в равновесии, то фальшивая монета – 4; а если не в равновесии, то фальшивая монета – будет 3.

5

1

5

2

3

4

7

6

На рисунке угол 7 равен сумме углов 1 и 3, а угол 6 равен сумме углов 2 и 5

(по теореме о свойстве внешнего угла треугольника).

Тогда угол 1+ 2 +3 +4+5 = угол 7+ 6+4 = 180 градусов.

Вариант 2.

1) Представьте в виде рациональной дроби:

2) Найдите значение выражения

3) Разложите многочлен на три множителя.

4) Вершину A прямоугольника ABCD соединили с серединами сторон BC и CD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?

5) 2007 человек выстроены в шеренгу. Всегда ли можно расставить их по росту, если разрешается переставлять любых двух людей, стоящих только через одного?

Вариант 2. Ответы и решения.

1)

2)

3) Сначала представим данное выражение в виде разности квадратов: Второй сомножитель здесь преобразуем аналогично: Таким образом, исходное выражение раскладывается так:

4

К

С

b/2

В

А

М

D

а

Допустим, что АМ=2АК. Обозначим ВС=b, АВ=а. Тогда, так как АК= и АМ=, получим, что АВ=а=0, чего не может быть.

5) При перестановке людей сохраняется четность номера места. Например, человек, стоящий вторым, может быть переставлен на четвертое, шестое, восьмое, ….две тысячи шестое место. Поэтому, если самый высокий человек стоит, например, вторым, то он никогда не станет первым.